Cho điểm $M$ nằm trên đoạn thẳng $AB$. Vẽ về một phía của $AB$ các tia $Ax,\,\, By$ vuông góc
Cho điểm $M$ nằm trên đoạn thẳng $AB$. Vẽ về một phía của $AB$ các tia $Ax,\,\, By$ vuông góc với $AB$. Qua $M$ có hai đường thẳng thay đổi luôn vuông góc với nhau và cắt $Ax,\,\, By$ theo thứ tự tại $C,\,\, D$. Tìm vị trí của $C,\,\, D$ diện tích nhỏ nhất của tam giác $MCD$
Quảng cáo
Đặt $MA = a,\,\, MB = b,\,\,\angle AMC = \alpha$
Biểu diễn $MC,\,\, MD$ theo $a,\,\, b,\,\,\alpha$
Sử dụng bất đẳng thức $2xy \leq x^{2} + y^{2},\,\,\forall x,y \in {\mathbb{R}}$
Ta có: $S_{MCD} = \dfrac{1}{2}MC.MD$
Đặt $MA = a,\,\, MB = b,\,\,\angle AMC = \angle BDM = \alpha$
Khi đó $MC = \dfrac{a}{\cos\alpha},\,\, MD = \dfrac{b}{\sin\alpha}$
Suy ra $S_{MCD} = \dfrac{1}{2}\dfrac{ab}{\sin\alpha.\cos\alpha}$
Áp dụng bất đẳng thức $2xy \leq x^{2} + y^{2},\,\,\forall x,y \in {\mathbb{R}}$ ta có
$2\sin\alpha.\cos\alpha \leq \sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha = 1$
Do đó $S_{MCD} \geq ab$
Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $\left. \sin\alpha = \cos\alpha\Leftrightarrow\alpha = 45{^\circ} \right.$
$\left. \Leftrightarrow\Delta AMC \right.$ và $\Delta BMD$ vuông cân
Khi đó các điểm $C,\,\, D$ được xác định trên tia $Ax,\,\, By$ sao cho $AC = AM,\,\, BD = BM$
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
