Cho điểm $M$ di chuyển trên đoạn thẳng $AB$. Vẽ các tam giác đều $AMC$ và $BMD$ về một phía
Cho điểm $M$ di chuyển trên đoạn thẳng $AB$. Vẽ các tam giác đều $AMC$ và $BMD$ về một phía của $AB$. Xác định vị trí của $M$ để tổng diện tích hai tam giác đều trên là nhỏ nhất
Quảng cáo
Gọi $K$ là giao điểm của $AC$ và $BD$
Đặt $AM = x,\,\, BM = y,\,\, AB = a$
Biểu diễn $S_{1},\,\, S_{2}$ theo $x,\,\, y,\,\, a$
Sử dụng bất đẳng thức $2\left( {x^{2} + y^{2}} \right) \geq \left( {x + y} \right)^{2}$
Gọi $K$ là giao điểm của $AC$ và $BD$
Ta có: $\Delta AMC \backsim \Delta AKB \backsim \Delta BMD$
Đặt $AM = x,\,\, BM = y,\,\, AB = a,\,\, S_{AMC} = S_{1},\,\, S_{BMD} = S_{2},\,\, S_{AKB} = S$
Ta có: $\Delta AKB$ đều
Do đó $S_{AKB} = \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4}$
Ta có: $\dfrac{S_{1}}{S} = \left( \dfrac{x}{a} \right)^{2},\,\,\dfrac{S_{2}}{S} = \left( \dfrac{y}{a} \right)^{2}$
Suy ra $\dfrac{S_{1} + S_{2}}{S} = \dfrac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}}$
Sử dụng bất đẳng thức $x^{2} + y^{2} \geq \dfrac{\left( {x + y} \right)^{2}}{2}$ ta được
$\dfrac{S_{1} + S_{2}}{S} = \dfrac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}} \geq \dfrac{\left( {x + y} \right)^{2}}{2a^{2}} = \dfrac{a^{2}}{2a^{2}} = \dfrac{1}{2}$
Dấu $" = "$ xảy ra khi và chỉ khi $\left. x = y\Leftrightarrow M \right.$ là trung điểm của $AB$
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
