Trên nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ lấy $M,\,\, E$ theo thứ tự $A,\,\, M,\,\, E,\,\, B$. $AM$
Trên nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ lấy $M,\,\, E$ theo thứ tự $A,\,\, M,\,\, E,\,\, B$. $AM$ cắt $BE$ tại $C,\,\, AE$ cắt $BM$ tại $D$. Chứng minh khi $M,\,\, E$ di động thì $BE.BC + AM.AC$ không đổi
Quảng cáo
Gọi $N = CD \cap AB$
- Chứng minh $D$ là trực tâm của $\Delta ABC$
- Chứng minh $\left. \left. \Delta BEA \right.\sim\Delta BNC\,\,\left( {g.g} \right)\Rightarrow BE.BC = BN.AB \right.$
Tương tự $AM.AC + AN.AB$
Từ đó suy ra đpcm
Gọi $N = CD \cap AB$
Ta có: $AE\bot BC,\,\, BM\bot AC,\,\, AE$ cắt $BM$ tại $D$
Suy ra $D$ là trực tâm của $\Delta ABC$
$\left. \Rightarrow CD\bot AB \right.$ tại $N$
Xét $\Delta BEA$ và $\Delta BNC$ có
$\begin{array}{l} {\angle ABC\,\, chung} \\ {\angle BEA = \angle BNC = 90{^\circ}} \\ {\left. \Rightarrow\Delta BEA \right.\sim\Delta BNC\,\,\left( {g.g} \right)} \\ \left. \Rightarrow\dfrac{BE}{BN} = \dfrac{AB}{BC} \right. \\ \left. \Rightarrow BE.BC = BN.BA \right. \end{array}$
Chứng minh tương tự ta có $AM.AC = AN.AB$
Khi đó $AM.AC + BE.BC = AN.AB + BN.AB = AB.\left( {AN + BN} \right) = AB^{2}$ không đổi
Vậy $AM.AC + BE.BC$ không đổi
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
