Có bao nhiêu số tự nhiên n sao cho $n^{3} - n + 2$ là số chính

Câu hỏi số 783898:

Vận dụng

Có bao nhiêu số tự nhiên n sao cho $n^{3} - n + 2$ là số chính phương?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:783898

Phương pháp giải

Một số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1. Ta chứng minh $n^{3} - n + 2$ chia 3 dư 2.

Giải chi tiết

Ta có: $n^{3} - n + 2 = n(n - 1)(n + 1) + 2$

Vì $n(n - 1)(n + 1) \equiv 0(\,{mod}\, 3)$$\left. \Rightarrow n(n - 1)(n + 1) + 2 \equiv 2(\,{mod}\, 3) \right.$

Mà một số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1.

Thật vậy:

Với $n = 3k$thì $n^{2} = \left( {3k} \right)^{2} = 9k^{2} \vdots 3$

Với $n = 3k + 1$thì $n^{2} = \left( {3k + 1} \right)^{2} = 9k^{2} + 6k + 1 \equiv 1\left( {{mod}3} \right)$

Với $n = 3k + 2$thì $n^{2} = \left( {3k + 2} \right)^{2} = 9k^{2} + 12k + 4 \equiv 1\left( {{mod}3} \right)$

Do đó $n^{3} - n + 2$ không là số chính phương.

Vậy không tồn tại số tự nhiên n sao cho $n^{3} - n + 2$ là số chính phương.

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link