Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $n$ để $3^{n} + 4$ không phải số chính

Câu hỏi số 783901:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên $n$ để $3^{n} + 4$ không phải số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:783901

Phương pháp giải

Chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử $3^{n} + 4$ là số chính phương. Lập luận để chứng minh điều giả sử sai.

Giải chi tiết

Giả sử $3^{n} + 4$ là số chính phương. Đặt $3^{n} + 4 = a^{2}(a \in {\mathbb{N}})$

Khi đó: $3^{n} = a^{2} - 4 = (a - 2)(a + 2)$

Với$n = 0$ta có: $3^{0} + 4 = 5$ không là số chính phương.

Với $n = 1$ta có: $3^{1} + 4 = 7$ không là số chính phương

Với $n \geq 2$, đặt $a - 2 = 3^{x},a + 2 = 3^{y}(x,y \in {\mathbb{N}}$, và $x + y = n,x < y)$

Suy ra: $a = 3^{x} + 2 = 3^{y} - 2$

Suy ra: $3^{y} - 3^{x} = 4$, vô lý vì vế trái chia hết cho 3 vế phải chia 3 dư 1.

Do đó điều giả sử là sai.

Vậy không tồn tại số tự nhiên $n$ để $3^{n} + 4$ không phải số chính phương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link