Cho góc vuông $xAy$, điểm $B$ cố định trên $Ay,\,\, C$ di chuyển trên $Ax$. Đường tròn tâm $I$
Cho góc vuông $xAy$, điểm $B$ cố định trên $Ay,\,\, C$ di chuyển trên $Ax$. Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $AC,\,\, BC$ theo thứ tự ở $M,\,\, N$. Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định
Quảng cáo
Chứng minh tứ giác $BIHN$ nội tiếp, từ đó suy ra $MN$ đi qua điểm cố định
Gọi $H$ là giao điểm của $AI$ và $MN$
Ta có $CM = CN$ nên $\Delta CMN$ cân tại $C$
Suy ra $\left. \angle CNM = 90{^\circ} - \dfrac{1}{2}\angle C\Rightarrow\angle BNH = 180{^\circ} - \left( {90{^\circ} - \dfrac{1}{2}\angle C} \right) = 90{^\circ} + \dfrac{1}{2}\angle C \right.$
Ta có $\angle BIA = 180{^\circ} - \left( {\angle IBA + \angle IAB} \right) = 180{^\circ} - \left( \dfrac{\angle ABC + \angle BAC}{2} \right) = 180{^\circ} - \dfrac{180{^\circ} - \angle C}{2} = 90{^\circ} + \dfrac{\angle C}{2}$
Do đó $\angle BIA = \angle BNH$ nên tứ giác $BIHN$ nội tiếp
Lại có $\left. \angle BNI = 90{^\circ}\Rightarrow\angle BHI = 90{^\circ} \right.$
Do đó $\Delta ABH$ vuông tại $H$
Mà $\angle BAH = 45{^\circ}$ nên $\Delta ABH$ vuông cân tại $H$
Do $A,\,\, B$ cố định nên điểm $H$ cố định
Vậy $MN$ luôn đi qua điểm $H$ cố định
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
