Cho đường tròn tâm $O$, dây $AB$. Điểm $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$. Các đường cao $AE,\,\, BF$
Cho đường tròn tâm $O$, dây $AB$. Điểm $M$ di chuyển trên cung lớn $AB$. Các đường cao $AE,\,\, BF$ của tam giác $ABM$ cắt nhau tại $H$. Đường tròn tâm $H$ bán kính $HM$ cắt $MA,\,\, MB$ tương ứng ở $C,\,\, D$. Chứng minh rằng đường thẳng kẻ từ $M$ vuông góc với $CD$ luôn đi qua một điểm cố định.
Quảng cáo
- Chứng minh $OM\bot EF$
- Chứng minh $EF$ là đường trung bình của $\Delta MCD$
Từ đó suy ra điều phải chứng minh
Kẻ tiếp tuyến $Mx$ với đường tròn $(O)$
Khi đó theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có $\angle BMx = \angle MAB$
Do $AE,\,\, BF$ là đường cao của $\Delta MAB$ nên tứ giác $ABEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$
Từ đó ta có $\angle MEF = \angle MAB$
Do đó $\angle MEF = \angle BMx$
Suy ra $Mx \parallel EF$
Suy ra $OM\bot EF$
Vì $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta MCD$ và $HE\bot MD$ nên $E$ là trung điểm của $MD$
Tương tư ta có $F$ là trung điểm của $MC$
Suy ra $EF$ là đường trung bình của $\Delta MCD$
Do đó $EF \parallel CD$
Mà $OM\bot EF$ nên $OM\bot CD$ (quan hệ từ vuông góc đến song song)
Hơn nữa điểm $O$ cố định
Vậy đường thẳng kẻ từ $M$ vuông góc với $CD$ luôn đi qua một điểm $O$ cố định.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
