Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d:\dfrac{x -

Câu hỏi số 784310:

Vận dụng

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, mặt phẳng $(P)$ chứa đường thẳng $d:\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y + 1}{- 1} = \dfrac{z}{2}$ và tạo với đường thẳng $\text{Δ}:\left\{ \begin{array}{l} {x = 2 + t} \\ {y = 3} \\ {z = - 1 + 8t} \end{array} \right.$ một góc lớn nhất, có phương trình là $ax + by + cz - 5 = 0$. Tính $a + b + c$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:784310

Phương pháp giải

Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc $d$.

Gọi $\Delta'$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $\Delta$

Khi đó $(P)$ chứa $d$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {\Delta';d} \right)$.

Giải chi tiết

Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc $d$.

Gọi $\Delta'$ là đường thẳng qua $M$ và song song với $\Delta$

Khi đó ta có $\angle\left( {\Delta;(P)} \right) = \angle\left( {\Delta';(P)} \right)$.

Lấy $S \in \Delta'$ bất kì, kẻ $SH\bot\Delta,SK\bot(P)$.

$\left. \Rightarrow KM \right.$ là hình chiếu vuông góc của SM lên $(P)$.

$\left. \Rightarrow\angle\left( {\Delta;(P)} \right) = \angle\left( {\Delta';(P)} \right) = \left( {SM;KM} \right) = \angle SMK = \alpha \right.$.

Xét tam giác vuông SMK ta có $\sin\alpha\ \ = \dfrac{SK}{SM}$.

Để $\alpha$ nhỏ nhất thì $\sin\alpha$ nhỏ nhất $\left. \Rightarrow\dfrac{SK}{SM} \right.$ nhỏ nhất.

Ta có $SM \geq SH$ $\left. \Rightarrow\dfrac{SK}{SM} \geq \dfrac{SH}{SM}\Rightarrow\sin\alpha\ \ \geq \dfrac{SH}{SM} \right.$.

Ta có $S,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( P \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \Delta $ cố định $ \Rightarrow SH,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} SK$ không đổi.

$\left. \Rightarrow\left( {\sin\alpha} \right)_{\min} = \dfrac{SH}{SM}\Leftrightarrow H \equiv M \right.$.

Khi đó $(P)$ chứa $d$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( {\Delta';d} \right)$.

Lấy $M\left( {1; - 1;0} \right) \in d$, phương trình đường thẳng $\Delta':\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + t} \\ {y = - 1} \\ {z = 8t} \end{array} \right.$.

Gọi $(R)$ là mặt phẳng chứa $\left( {\Delta';d} \right)$ $\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{n_{R}}\ \ = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{u_{\Delta^{\prime}}},\overset{\rightarrow}{u_{d}}} \right\rbrack = \left( {- 8, - 14,1} \right) \right.$.

Ta có $\left. \left\{ \begin{array}{l} {d\ \ \subset (P)} \\ {(R)\bot(P)} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{n_{P}}\ \ \bot\overset{\rightarrow}{u_{d}}} \\ {\overset{\rightarrow}{n_{P}}\ \ \bot\overset{\rightarrow}{n_{R}}} \end{array} \right.\Rightarrow\overset{\rightarrow}{n_{P}}\ \ = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{u_{d}},\overset{\rightarrow}{n_{R}}} \right\rbrack = \left( {27, - 18, - 36} \right) = 9\left( {3, - 2, - 4} \right) \right.$.

$\Rightarrow$ Phương trình mặt phẳng $(P)$: $\left. 3\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) - 4z = 0\Leftrightarrow 3x - 2y - 4z - 5 = 0 \right.$.

$\left. \Rightarrow a = 3,b = - 2,c = - 4 \right.$.

Vậy $T = a + b + c = 3 - 2 - 4 = - 3$.

Đáp án cần điền là: -3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.