Cho $\left( {O;2,5\ cm} \right)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $AB$

Câu hỏi số 784469:

Vận dụng

Cho $\left( {O;2,5\ cm} \right)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $AB$ với đường tròn ($B$ là tiếp điểm). Kẻ đường kính $BC$ của $(O)$. Kẻ $BD\bot AC$ ($D$ khác $A,C$).

a) Chứng minh rằng điểm $D$ thuộc đường tròn $(O)$. Tính độ dài cạnh $AD$ biết cạnh $BD = 3\ cm$

b) Từ $C$ vẽ dây $CE//OA$. Biết $BE$ cắt $OA$ tại $H$. Chứng minh rằng $AE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

c) Tia $OA$ cắt $(O)$ tại $F$. Chứng minh rằng $FA.CH = HF.CA$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:784469

Phương pháp giải

a) Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông BDC để tính CD.

Chứng minh $\Delta ABD$$\backsim$$\Delta BCD$ (g.g) nên $\dfrac{BD}{CD} = \dfrac{AD}{BD}$. Do đó tính được $AD = \dfrac{BD^{2}}{CD}$

b) Chứng minh $\Delta EOA = \Delta BAO$ (c.g.c). Suy ra $\widehat{ABO} = \widehat{AEO} = 90^{0}$ hay $AE~\bot OE$

Từ đó kết luận $AE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ (đpcm).

c) Chứng minh $EF$ là phân giác của $\widehat{AEH}$ do đó $\dfrac{FH}{FA} = \dfrac{EH}{EA} = \sin\widehat{HAE} = \sin\widehat{EBC} = \dfrac{EB}{BC} = \dfrac{2OH}{2OC} = \dfrac{OH}{OC}$

Mà $\Delta OHC \backsim \Delta OCA$nên $\dfrac{OH}{OC} = \dfrac{CH}{CA} = \dfrac{FH}{FA}$

Vì vậy $FA.CH = HF.CA$.

Giải chi tiết

a) Xét (O;2,5cm) đường kính $BC$ nên $O$ là trung điểm $BC$. Do đó $BC = 2,5.2 = 5\left( {cm} \right)$

Vì $BD\bot AC$nên $\widehat{BDC} = 90^{0}$ do đó $\Delta BDC$ vuông tại $D$

Xét $\Delta BDC$ vuông tại $D$ có $O$ là trung điểm $BC$ nên $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta BDC$ hay $D$ thuộc đường tròn $(O)$ (đpcm)

Xét $\Delta BDC$ vuông tại $D$ có: $BD^{2} + CD^{2} = BC^{2}$(ĐL Pythagore)

$3^{2} + CD^{2} = 5^{2}$

Từ đó suy ra $CD = 4\left( {cm} \right)$

Ta có $\Delta ABD$$\backsim$$\Delta BCD$ (g.g) nên $\dfrac{BD}{CD} = \dfrac{AD}{BD}$.

Do đó $AD = \dfrac{BD^{2}}{CD} = \dfrac{3^{2}}{4} = 2,25(cm)$

b) Xét $(O)$ có $BC$ là đường kính, $CE$ là dây nên $B,C,E \in (O)$đường kính $BC$.

Do đó $(O)$ đường kính $BC$ ngoại tiếp $\Delta BCE$ hay $\Delta BCE$ vuông tại $E$ nên $CE\bot BE$

Có $CE\bot BE$(cmt) và $CE//AO$(gt) nên $AO~\bot BE$.

Do đó $\widehat{AHE} = \widehat{AHB} = \widehat{EHO} = \widehat{BHO} = 90^{0}$

Suy ra $\Delta OHE = \Delta OHB$ (cạnh huyền, cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat{HOE} = \widehat{HOB}$

Do đó $\Delta EOA = \Delta BAO$ (c.g.c).

Suy ra $\widehat{ABO} = \widehat{AEO} = 90^{0}$ hay $AE~\bot OE$

Xét $(O)$ có $OE$ là bán kính, $AE\bot~OE$ nên $AE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ (đpcm)

c) $\Delta OEF$ cân tại $O$ (do $OE = OF$) nên $\widehat{OFE} = \widehat{OEF}$

Mà $\widehat{OFE} + \widehat{HEF} = 90^{0}$; $\widehat{OEF} + \widehat{AEF} = 90^{0}$ nên $\widehat{FEH} = \widehat{AEF}$ hay $EF$ là phân giác của $\widehat{AEH}$.

Do đó $\dfrac{FH}{FA} = \dfrac{EH}{EA} = \sin\widehat{HAE} = \sin\widehat{EBC} = \dfrac{EB}{BC} = \dfrac{2OH}{2OC} = \dfrac{OH}{OC}$

Mà $\Delta OHC \backsim \Delta OCA$nên $\dfrac{OH}{OC} = \dfrac{CH}{CA} = \dfrac{FH}{FA}$

Vì vậy $FA.CH = HF.CA$ (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link