Cho hai biểu thức $A = \dfrac{x}{\sqrt{x} + 1}$, $B = \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{1}{1 - \sqrt{x}} + \dfrac{x

Câu hỏi số 785004:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{x}{\sqrt{x} + 1}$, $B = \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{1}{1 - \sqrt{x}} + \dfrac{x + 5}{x - 1}$ với $x \ge 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} x \ne 1$.

a) Tính giá trị của $A$ tại $x = \dfrac{1}{4}$.

b) Chứng minh rằng $B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$.

c) Đặt $P = A.B$. Tìm tất cả các giá trị của $x$ thỏa mãn $P \leq 4$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:785004

Phương pháp giải

a) Thay $x = \dfrac{1}{4}$ (tmđk) vào biểu thức A.

b) Quy đồng và rút gọn biểu thức.

c) Cho $P \leq 4$. Từ đó tìm $x$ và kết hợp điều kiện để kết luận.

Giải chi tiết

a) Thay $x = \dfrac{1}{4}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$

$A = \dfrac{\dfrac{1}{4}}{\sqrt{\dfrac{1}{4}} + 1} = \dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{2} + 1} = \dfrac{1}{6}$

Vậy với $x = \dfrac{1}{4}$ thì giá trị của biểu thức $A = \dfrac{1}{6}$

b) $B = \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{1}{1 - \sqrt{x}} + \dfrac{x + 5}{x - 1}$

$= \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{x + 5}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}$

$= \dfrac{3\sqrt{x} - 3 - \sqrt{x} - 1 + x + 5}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}$

$= \dfrac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}$

$= \dfrac{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)^{2}}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}$

$= \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$

Vậy $B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ (đpcm)

c) Ta có

$P = A.B =$$\dfrac{x}{\sqrt{x} + 1}.\dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = \dfrac{x}{\sqrt{x} - 1}$.

$P \leq 4$

$\dfrac{x}{\sqrt{x} - 1} \leq 4$

$\dfrac{x}{\sqrt{x} - 1} - 4 \leq 0$

$\dfrac{x - 4\sqrt{x} + 4}{\sqrt{x} - 1} \leq 0$

$\dfrac{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)^{2}}{\sqrt{x} - 1} \leq 0\,$

TH1: $\dfrac{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)^{2}}{\sqrt{x} - 1} = 0\,$

$\begin{array}{l} {\left( {\sqrt{x} - 2} \right)^{2} = 0} \\ {x = 4\left( \text{tm} \right)} \end{array}$

TH2: $\dfrac{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)^{2}}{\sqrt{x} - 1} < 0\,$

$\sqrt{x} - 1 < 0$ $(\text{do}\,{(\sqrt{x} - 2)}^{2} \geq 0)$

$\begin{array}{l} {\sqrt{x} < 1} \\ {x < 1} \end{array}$

Kết hợp với $x \geq 0,\,\, x \neq 1$ ta có $0 \leq x < 1$và $x = 4$ thì $P \leq 4$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link