Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Trên tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$lấy điểm

Câu hỏi số 785009:

Vận dụng

Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Trên tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O)$lấy điểm $C$. Vẽ cát tuyến $CDE$ của đường tròn $(O)$ (tia $CD$ nằm giữa 2 tia $CA,CO$ và điểm $D$ nằm giữa hai điểm $C$ và $E$). Gọi $M$là giao điểm của $CO$ và $BD$; $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $CO$.

a) Chứng minh tứ giác ADMH là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $CD \cdot CE = CH \cdot CO$.

c) Gọi $F$ là giao điểm của AM và đường tròn $(O)$ ($F$ khác A). Chứng minh $\widehat{EHD} = 2 \cdot \widehat{EBD}$ và ba điểm $E,O,F$ thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:785009

Phương pháp giải

a) Chứng minh 4 điểm $A;D;M;H$ thuộc đường tròn đường kính AM.

b) Chứng minh $\Delta CAD \backsim \Delta CEA\,\,\,(g.g)$$\left. \Rightarrow\dfrac{CA}{CE} = \dfrac{CD}{CA}\Rightarrow CA^{2} = CD.CE\,\,\,(1) \right.$

Tương tự $\Delta ACO \backsim \Delta HCA\,\,(g.g)$$\left. \Rightarrow CA^{2} = CH.CO\,\,\,(2)\,\,\, \right.$

Từ (1) và (2) suy ra : $CD.CE = CH.CO$

c) Chứng minh $\widehat{CEO} = \widehat{CEF}$ do đó: $EO$ và $\text{EF}$là hai tia trùng nhau

Vậy ba điểm $E,O,F$ thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Gọi $I$là trung điểm của $AM$

Ta có $\widehat{ADB} = 90{^\circ}$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay $\widehat{ADM} = 90{^\circ}$

$\left. \Rightarrow\Delta ADM \right.$ là tam giác vuông tại $D$ có $DI$ là đường trung tuyến nên : $AI = DI = MI = \left( \dfrac{AM}{2} \right)$ (1)

Do $H$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên $CO$ nên $AH\bot CO$

$\left. \Rightarrow\Delta AHM \right.$là tam giác vuông tại $H$ có $HI$là đường trung tuyến nên : $AI = HI = MI = \left( \dfrac{AM}{2} \right)$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra : $AI = DI = MI = HI\left( {= \dfrac{AM}{2}} \right)$

Do đó bốn điểm $A;D;M;H$cùng thuộc một đường tròn.

Vậy $ADMH$ là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có $\widehat{CAD} + \widehat{DAO} = 90{^\circ}$

$\widehat{CEA} + \widehat{CEB} = \widehat{AEB} = 90{^\circ}$ ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Mà $\widehat{DAO} = \widehat{CEB}$ ( cùng chắn $\overset{\frown}{DB}$)

Do đó $\widehat{CAD} = \widehat{CEA}$ $\left. \Rightarrow\Delta CAD \backsim \Delta CEA\,\,\,(g.g) \right.$

$\left. \Rightarrow\dfrac{CA}{CE} = \dfrac{CD}{CA}\Rightarrow CA^{2} = CD.CE\,\,\,(1) \right.$

Mặt khác $\Delta ACO \backsim \Delta HCA\,\,(g.g)$ (do $\widehat{ACO}$ chung và $\widehat{CAO} = \widehat{CHA}$)

$\left. \Rightarrow CA^{2} = CH.CO\,\,\,(2)\,\,\, \right.$

Từ (1) và (2) suy ra : $CD.CE = CH.CO$

c) Theo phần b: $CD.CE = CH.CO$$\left. \Rightarrow\dfrac{CD}{CH} = \dfrac{CO}{CE} \right.$

$\left. \Rightarrow\Delta CDH \backsim \Delta COE\,\,\,(c.g.c) \right.$

Khi đó $\widehat{CHD} = \widehat{CEO}$ (5)

Mà $\widehat{CHD} = \widehat{DAM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DM) (6)

Xét $(O)$có: $\widehat{DAM} = \widehat{DEF}$(cùng chắn cung $\overset{\frown}{DF}$) (7)

Từ (5) (6) và (7) suy ra: $\widehat{CEO} = \widehat{CEF}$

Do đó: $EO$ và $\text{EF}$là hai tia trùng nhau

Vậy ba điểm $E,O,F$ thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link