Cho đường tròn $(O)$và điểm$A$nằm trên đường tròn. Gọi$d$là tiếp tuyến của$(\text{O})$tại
Cho đường tròn $(O)$và điểm$A$nằm trên đường tròn. Gọi$d$là tiếp tuyến của$(\text{O})$tại $A$. Trên $d$ lấy điểm $D$($D$ không trùng với$A$), kẻ tiếp tuyến $DB$ của $(O)$($B$ là tiếp điểm,$B$ không trùng với$A$).
a) Chứng minh rằng tứ giác $AOBD$ nội tiếp.
b) Trên tia đối của tia $BA$ lấy điểm $C$. Kẻ $DH$ vuông góc với $OC$ ($H$ thuộc $OC$). Gọi $I$ là giao điểm của $AB$ và $OD$. Chứng minh rằng $OH.OC = OI.OD$.
c) Gọi $M$ là giao điểm của $DH$ với cung nhỏ $AB$ của $(O)$. Gọi $F$ là giao điểm thứ hai của đường tròn đường kính $OD$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $OIM$. Chứng minh rằng $D,F,C$ thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Chứng minh $A,O,B,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OD.$ Từ đó kết luận tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh $\Delta OIC\, \backsim \Delta OHD$ để suy ra cặp đoạn thẳng tỉ lệ.
c) Chứng minh $F$ thuộc đường tròn đường kính $OC.$
Suy ra $\widehat{OFC} = 90{^\circ}$ (góc nội tiếp đường tròn đường kính $OC$)
Mà $\widehat{OFD} = 90{^\circ}$ (góc nội tiếp đường tròn đường kính $OD$)
Do đó $\widehat{OFC} + \widehat{OFD} = 180{^\circ}$.
Vậy $D,F,C$ thẳng hàng.
a) Vì $DA$ và $DB$ là các tiếp tuyến của $(\text{O})$nên $\widehat{OBD} = \widehat{OAD} = 90{^\circ}$.
Vì $\Delta OAD$ vuông tại $A$ nên $\Delta OAD$ nội tiếp đường tròn đường kính $OD.$ (1)
Vì $\Delta OBD$ vuông tại $B$ nên $\Delta OBD$ nội tiếp đường tròn đường kính $OD.$ (2)
Từ (1) và (2), suy ra $A,O,B,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OD.$
Vậy tứ giác $AOBD$ nội tiếp.
b) Vì $OA = OB = R$ nên $O$ thuộc đường trung trực của $AB$. (3)
$DA = DB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Nên $D$ thuộc đường trung trực của $AB$. (4)
Từ (3) và (4), suy ra $OD$ là đường trung trực của $AB$.
Do đó, $OD\bot AB$ tại $I$ hay $\widehat{OIC} = 90{^\circ}$.
Xét $\Delta OIC$ và $\Delta OHD$ có:
$\widehat{OIC} = \widehat{OHD} = 90{^\circ}$
$\widehat{DOC}$ là góc chung
Suy ra $\Delta OIC\, \backsim \Delta OHD$ (góc – góc)
Khi đó $\dfrac{OI}{OH} = \dfrac{OC}{OD}$ hay $OH.OC = OI.OD$.
c) Xét $\Delta OAD$ và $\Delta OIA$ có:
$\widehat{OAD} = \widehat{OIA} = 90{^\circ}$;
$\widehat{DOA}$ là góc chung
Vậy $\Delta OAD\, \backsim \Delta OIA$ (góc – góc)
Suy ra $\dfrac{OA}{OI} = \dfrac{OD}{OA}$ hay $OA^{2} = OI.OD$.
Khi đó, ta có $OA^{2} = OH.OC$ (vì $OH.OC = OI.OD$ (chứng minh câu b))
Mà $OM = OA = R$.
Nên $OM^{2} = OH.OC$ hay $\dfrac{OM}{OH} = \dfrac{OC}{OM}$.
Xét $\Delta OHM$ và $\Delta OMC$ có:
$\dfrac{OM}{OH} = \dfrac{OC}{OM}$ (chứng minh trên)
$\widehat{MOC}$ là góc chung
Suy ra $\Delta OHM\, \backsim \Delta OMC$ (cạnh – góc – cạnh)
Do đó, $\widehat{OMC} = \widehat{OHM} = 90{^\circ}$ (hai góc tương ứng).
Suy ra $\Delta OMC$ vuông tại $M$ nên $\Delta OMC$ nội tiếp đường tròn đường kính $OC.$ (5)
Vì $\Delta OIC$ vuông tại $I$ nên $\Delta OIC$ nội tiếp đường tròn đường kính $OC.$ (6)
Từ (5) và (6), suy ra $O,I,M,C$ thuộc đường tròn đường kính $OC.$
Khi đó $F$ thuộc đường tròn đường kính $OC.$
Suy ra $\widehat{OFC} = 90{^\circ}$ (góc nội tiếp đường tròn đường kính $OC$)
Mà $\widehat{OFD} = 90{^\circ}$ (góc nội tiếp đường tròn đường kính $OD$)
Do đó $\widehat{OFC} + \widehat{OFD} = 180{^\circ}$.
Vậy $D,F,C$ thẳng hàng.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
