Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB < AC)$. Đường tròn $(O)$ đường kính $BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại
Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB < AC)$. Đường tròn $(O)$ đường kính $BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $E,D$ ($E$ không trùng $B$, $D$ không trùng $C$). $BD$ cắt $CE$ tại $H$, $AH$ cắt $BC$ tại $F$.
a) Chứng minh $AF\bot BC$ và tứ giác $BEHF$ nội tiếp.
b) Chứng minh $FA$ là tia phân giác của $\angle EFD$ và $FE \cdot FD = FH \cdot FA$.
c) Trên tia đối của tia $FE$ lấy điểm $K$ sao cho $FK = FD$. Với $BC = 11cm$, $FE = 4cm$, $FK = 6cm$ $(FB < FC)$, tính số đo góc $BKC$ và độ dài FO.
Quảng cáo
a) Chứng minh $AF\bot BC$
Chứng minh H là trực tâm của tam giác ABC và $AH$ cắt $BC$ tại $F$ nên AF là đường cao, suy ra $AF\bot BC$.
Chứng minh tứ giác $BEHF$ nội tiếp.
Chứng minh tam giác vuông BHE và BHF cùng nội tiếp đường tròn đường kính BH nên BEHF nội tiếp.
b) Chứng minh $FA$ là tia phân giác của $\angle EFD$
Vì BEHF là tứ giác nội tiếp nên $\angle EFH = \angle EBH$
Chứng minh tứ giác CDHF là tứ giác nội tiếp nên $\angle HFD = \angle HCD$
Mà $\angle EBH = \angle HCD$
suy ra $\angle EFH = \angle HFD$, suy ra FA là tia phân giác của $\angle EFD$.
Chứng minh $FE \cdot FD = FH \cdot FA$
Chứng minh tứ giác $ABFD$ là tứ giác nội tiếp nên $\angle BAF = \angle BDF$
Chứng minh $\Delta FAE \backsim \Delta FDH$ (g.g)
Do đó $\dfrac{FE}{FA} = \dfrac{FH}{FD}$, suy ra $FE \cdot FD = FH \cdot FA$.
c) Tính $\angle BKC$
Sử dụng tính chất hai góc đối đỉnh và góc nội tiếp cùng chắn một cung suy ra $\angle DFO = \angle KFO$
Chứng minh $\Delta FDO = \Delta FKO$ suy ra $OK = OD$ nên $K \in (O)$, suy ra $\angle BKC = 90{^\circ}$.
Tính FO
Đặt $FB = x\left( {x < r} \right)$.
Chứng minh $\Delta BEF \backsim \Delta KCF$ suy ra $FE \cdot FK = FB \cdot FC$
Từ đó viết phương trình theo $x$.
Giải phương trình để tìm FB. Khi đó ta tính được FO = BO – FB.
a) Chứng minh $AF\bot BC$
Ta có: $\angle BEC = \angle BDC = 90{^\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $CE\bot AB,BD\bot AC$.
Do đó $BD,CE$ là hai đường cao của tam giác ABC.
Mà BD và CE cắt nhau tại $H$ nên H là trực tâm của tam giác ABC.
Do đó $AF$ là đường cao của tam giác ABC (vì $AH$ cắt $BC$ tại $F$) nên $AF\bot BC$.
Chứng minh tứ giác $BEHF$ nội tiếp
Vì $\Delta BHE$ vuông tại E nên $\Delta BHE$ nội tiếp đường tròn đường kính BH.
Vì $\Delta BHF$ vuông tại F nên $\Delta BHF$ nội tiếp đường tròn đường kính BH.
Do đó bốn điểm B, E, H, F thuộc đường tròn đường kính BH hay tứ giác $BEHF$ là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh FA là tia phân giác của $\angle EFD$
Vì BEHF là tứ giác nội tiếp nên $\angle EFH = \angle EBH$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EH). (1)
Vì $\Delta CDH$ vuông tại D nên $\Delta CDH$ nội tiếp đường tròn đường kính CH.
Vì $\Delta CHF$ vuông tại F nên $\Delta CHF$ nội tiếp đường tròn đường kính CH.
Do đó bốn điểm C, D, H, F thuộc đường tròn đường kính CH hay tứ giác CDHF là tứ giác nội tiếp.
Do đó $\angle HFD = \angle HCD$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD). (2)
Mà $\angle EBH = \angle HCD$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ED) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra $\angle EFH = \angle HFD$, suy ra FA là tia phân giác của $\angle EFD$.
Chứng minh $FE \cdot FD = FH \cdot FA$
Vì $\Delta ABD$ vuông tại D nên $\Delta ABD$ nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Vì $\Delta ABF$ vuông tại F nên $\Delta ABF$ nội tiếp đường tròn đường kính AB.
Do đó bốn điểm A, B, F, D thuộc đường tròn đường kính AB hay tứ giác $ABFD$ là tứ giác nội tiếp.
Suy ra $\angle BAF = \angle BDF$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)
Xét $\Delta FAE$ và $\Delta FDH$ có:
$\angle EFH = \angle HFD$ (cmt)
$\angle BAF = \angle BDF$ (cmt)
Suy ra $\Delta FAE \backsim \Delta FDH$ (g.g)
Do đó $\dfrac{FE}{FA} = \dfrac{FH}{FD}$, suy ra $FE \cdot FD = FH \cdot FA$.
c) Tính $\angle BKC$
Ta có: $\angle BHE = \angle DHC$ (hai góc đối đỉnh)
$\angle BFE = \angle KFO$ (hai góc đối đỉnh)
Mà $\angle BFE = \angle BHE$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE).
$\angle DHC = \angle DFO$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DC)
Suy ra $\angle DFO = \angle KFO$.
Xét $\Delta FDO$ và $\Delta FKO$ có:
$DF = FK$ (gt)
$\angle DFO = \angle KFO$ (cmt)
OF chung
nên $\Delta FDO = \Delta FKO$ (c.g.c)
Suy ra $OK = OD$ = bán kính nên $K \in (O)$, suy ra $\angle BKC = 90^{{^\circ}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Tính độ dài FO
Ta có BC = 11cm nên BO = OC = $\dfrac{11}{2} = 5,5$cm.
Đặt $FB = x\left( {x < 5,5} \right)$, suy ra $FC = 11 - x$.
Xét $\Delta BEF$ và $\Delta KCF$ có:
$\angle EBF = \angle FKC$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)
$\angle BFE = \angle KFC$ (hai góc đối đỉnh)
nên suy ra $\dfrac{FE}{FB} = \dfrac{FC}{FK}$, do đó $FE \cdot FK = FB \cdot FC$
Thay số, ta được:
$\begin{array}{l} {4 \cdot 6 = x \cdot \left( {11 - x} \right)} \\ {x^{2} - 11x + 24 = 0} \end{array}$
Giải phương trình ta được $x = 3$ (TM) hoặc $x = 8$ (KTM)
suy ra $FB = 3cm$.
Do đó $FO = 5,5 - 3 = 2,5\left( {cm} \right)$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
