Cho đường tròn (O), dây CD cố định. Gọi B là điểm chính giữa cung nhỏ CD, kẻ đường kính AB

Câu hỏi số 787847:

Vận dụng

Cho đường tròn (O), dây CD cố định. Gọi B là điểm chính giữa cung nhỏ CD, kẻ đường kính AB cắt CD tại I. Lấy điểm H bất kì trên cung lớn CD, HB cắt CD tại E. Đường thẳng AH cắt CD tại P.

a) Chứng minh tứ giác PHIB nội tiếp.

b) Chứng minh AH.AP = AI.AB.

c) Gọi K là giao điểm của đường thẳng AE và BP. Kẻ $KM\bot AB$, cắt AB tại M, cắt đường tròn (O) tại N. Chứng minh N, I, H thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:787847

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\angle PIB = \angle PHB = 90^{o}$.

b) Chứng minh $\Delta ABP \backsim \Delta AHI$ (g.g), suy ra $\dfrac{AB}{AH} = \dfrac{AP}{AI}$ rồi kết luận.

c) Chứng minh $\angle HIP = \angle DIN$, suy ra $\angle PIN + \angle HIP = 180^{o}$ rồi kết luận.

Giải chi tiết

a) Vì B là điểm chính giữa cung nhỏ CD nên B cách đều C và D.

Mà C, D thuộc (O) nên O cũng cách đều C và D.

Do đó, OB là đường trung trực của đoạn thẳng CD, suy ra $\angle PIB = 90^{o}$.

Vì vậy, I thuộc đường tròn đường kính PB.

Mặt khác, H thuộc đường tròn (O) đường kính AB nên $\angle BHA = \angle BHP = 90^{o}$.

Do đó, H thuộc đường tròn đường kính PB.

Vì I, H cùng thuộc đường tròn đường kính PB nên tứ giác PHIB nội tiếp.

b) Tứ giác PHIB nội tiếp nên $\angle HPB + \angle HIB = 180^{o}$, mà $\angle AIH + \angle HIB = 180^{o}$ (góc kề bù), suy ra $\angle HPB = \angle AIH$.

Xét $\Delta ABP$ và $\Delta AHI$ có:

+ $\angle HAI$ chung;

+ $\angle APB = \angle AIH$ (chứng minh trên).

Suy ra $\Delta ABP \backsim \Delta AHI$ (g.g), do đó $\dfrac{AB}{AH} = \dfrac{AP}{AI}$, vì vậy AH.AP = AI.AB.

c) Xét $\Delta APB$ có hai đường cao PI và BH cắt nhau tại E, do đó E là trực tâm $\Delta APB$.

Suy ra AK cũng là đường cao của $\Delta APB$, do đó $\angle AKB = 90^{o}$ và K thuộc (O).

Ta có $\angle EKB = \angle EIB = 90^{o}$ nên K, I cùng thuộc đường tròn đường kính EB, hay tứ giác EIBK nội tiếp.

Suy ra $\angle EBK = \angle EIK$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EK).

Mặt khác, do tứ giác PHIB nội tiếp nên $\angle EBK = \angle HIP$ (góc nội tiếp cùng chắn cung PH).

Suy ra $\angle EIK = \angle HIP$ (1)

Xét $\Delta OKN$ cân tại O có OM là đường cao, do đó OM đồng thời là đường trung trực của đoạn KN.

Vì I thuộc đường trung trực OM của đoạn thẳng KN nên IK = IN, suy ra $\Delta IKN$ cân tại I.

$\Delta IKN$ cân tại I có IM là đường trung tuyến, đồng thời là phân giác của $\angle KIN$.

Do đó $\angle KIM = \angle NIM$, suy ra $90^{o} - \angle KIM = 90^{o} - \angle NIM$, ta được $\angle EIK = \angle DIN$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\angle HIP = \angle DIN$.

Mặt khác $\angle PIN + \angle DIN = 180^{o}$ (góc kề bù), suy ra $\angle PIN + \angle HIP = 180^{o}$, hay $\angle HIN = 180^{o}$.

Vậy H, I, N thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link