Cho đường tròn $(O:R)$ có đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O;R)$ lấy

Câu hỏi số 789063:

Vận dụng

Cho đường tròn $(O:R)$ có đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O;R)$ lấy điểm $M$ sao cho $AM = 2R,BM$ cắt đường tròn tại $C$. Kẻ $AH\bot MO$ tại $H$.

1) Chứng minh tứ giác AMCH nội tiếp và $OB^{2} = OH \cdot OM$.

2) Chứng minh $\Delta HCB \backsim \Delta HOA$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789063

Phương pháp giải

1) Chứng minh 4 điểm A, M, C, H cùng thuộc 1 đường tròn.

Chứng minh được $\left. \Delta OHA \right.\sim\Delta OAM(~\text{g} \cdot ~\text{g})$. Từ đó suy ra $OB^{2} = OH \cdot OM$

2) Chứng minh $\widehat{BHC} = 90{^\circ}$ và $\widehat{C_{1}} = \widehat{HOA}$. Từ đó suy ra $\Delta HCB \backsim \Delta HOA$.

Giải chi tiết

1) $\widehat{ACB}$ và $\widehat{ACM}$ là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.

Suy ra $\widehat{ACB} = 90{^\circ},\widehat{ACM} = 90{^\circ}$

$\Delta ACM$ vuông tại $C$ nên ba điểm $A,{\mkern 1mu} C,M$ thuộc đường tròn đường kính AM (1)

$\Delta AHM$ vuông tại $H$ nên $A,{\mkern 1mu} H,M$ thuộc đường tròn đường kính AM (2)

Từ (1) và (2) ta có bốn điểm $A,H,{\mkern 1mu} C,M$ thuộc đường tròn đường kính AM

Vậy tứ giác AMHC nội tiếp.

Vì AM là tiếp tuyến của (O) tại A nên ta có $\widehat{MAO} = 90{^\circ}$

Xét $\Delta OHA$ và $\Delta OAM$ có:

Góc O chung

$\widehat{OHA} = \widehat{MAO} = 90{^\circ}$

Suy ra $\left. \Delta OHA \right.\sim\Delta OAM(~\text{g} \cdot ~\text{g})$

Suy ra $\dfrac{OA}{OM} = \dfrac{OH}{OA}$ hay $OA^{2} = OH.OM$

Mà $OA = OB$ do đó $OB^{2} = OH.OM$

2) Từ $OB^{2} = OH.OM$ suy ra $\dfrac{OB}{OM} = \dfrac{OH}{OB}$

Xét $\Delta OHB$ và $\Delta OBM$ có:

Góc O chung

$\dfrac{OB}{OM} = \dfrac{OH}{OB}$

Suy ra $\Delta OHB \backsim \Delta OBM$ (c.g.c )

Do đó $\widehat{OBM} = \widehat{H_{2}}$ (3)

$\Delta AMB$ vuông tại $A$ có $AM = AB = 2R$

nên $\Delta AMB$ vuông cân tại $A$ suy ra $\widehat{ABM} = \widehat{AMB} = 45{^\circ}$(4)

Từ (3) và (4) ta có $\widehat{H_{2}} = 45{^\circ}$

$\Delta CAM$ vuông tại $C$ có $\widehat{AMC} = 45{^\circ}$ suy ra $\widehat{MAC} = 45{^\circ}$(5)

Tứ giác AMHC nội tiếp nên $\widehat{MAC} = \widehat{H_{1}}$ (6)

Từ (5) và (6) ta có $\widehat{H_{1}} = 45{^\circ}$

Mà $\widehat{H_{1}} + \widehat{H_{2}} + \widehat{BHC} = 180{^\circ}$ suy ra $\widehat{BHC} = 90{^\circ}$

Vì $\widehat{HOA} = \widehat{HAM}$(cùng phụ với $\widehat{A_{1}}$); $\widehat{HAM} = \widehat{C_{1}}$ (cùng bù với $\widehat{HCM}$)

Suy ra $\widehat{C_{1}} = \widehat{HOA}$

Xét $\Delta HCB$ và $\Delta HOA$ có:

$\widehat{BHC} = \widehat{OHA} = 90{^\circ}$

$\widehat{C_{1}} = \widehat{HOA}$(cmt)

Vậy $\Delta HCB \backsim \Delta HOA(g.g)$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link