Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 2z + 5 = 0$

Câu hỏi số 789106:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x - y + 2z + 5 = 0$ và các điểm $A\left( {0;0;4} \right),B\left( {2;0;0} \right)$. Mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính nhỏ nhất đi qua các điểm $A,B,O$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$ có tâm là điểm $I$. Tung độ của điểm $I$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789106

Phương pháp giải

Gọi $I\left( {x,y,z} \right)$ là tâm mặt cầu. Khi đó $IA = IB = IO = d\left( {I,(P)} \right)$

Giải chi tiết

Gọi $I\left( {x,y,z} \right)$ là tâm mặt cầu

Khi đó $IA = IB = IO = d\left( {I,(P)} \right)$

$\begin{array}{l} \left. \left\{ \begin{array}{l} {IO^{2} = IA^{2}} \\ {IO^{2} = IB^{2}} \\ {IO = d\left( {I,(P)} \right)} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} + z^{2} = x^{2} + y^{2} + \left( {z - 4} \right)^{2}} \\ {x^{2} + y^{2} + z^{2} = \left( {x - 2} \right)^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ {\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = \dfrac{\left| {2x - y + 2z + 5} \right|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}}}} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {z = 2} \\ {x = 1} \\ {\sqrt{y^{2} + 5} = \dfrac{\left| {11 - y} \right|}{3}} \end{array} \right. \right. \\ \left. \Leftrightarrow 9\left( {y^{2} + 5} \right) = \left( {y - 11} \right)^{2}\Leftrightarrow 8y^{2} + 22y - 76 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {y = 2} \\ {y = - \dfrac{19}{4}} \end{array} \right. \right. \end{array}$

Với $\left. y = 2\Rightarrow R = IO = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = 3 \right.$

Với $\left. y = \dfrac{- 19}{4}\Rightarrow R = IO = \dfrac{21}{4} = 5,25 > 3 \right.$

Vậy mặt cầu tâm $I\left( {1,2,2} \right)$ có bán kính nhỏ nhất

Đáp án cần điền là: 2

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.