Cho khối tứ diện $ABCD$ có $BC = 3,CD = 4,\widehat{ABC} = \widehat{ADC} = \widehat{BCD} = 90^{\circ}$. Góc

Câu hỏi số 789319:

Vận dụng

Cho khối tứ diện $ABCD$ có $BC = 3,CD = 4,\widehat{ABC} = \widehat{ADC} = \widehat{BCD} = 90^{\circ}$. Góc giữa đường thẳng $AD$ và $BC$ bằng $60^{\circ}$. Tính côsin góc giữa hai phẳng $\left( {ABC} \right)$ và $\left( {ACD} \right)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789319

Phương pháp giải

Gắn hệ trục toạ độ Oxyz và tính góc giữa hai mặt phẳng

Giải chi tiết

Dựng $AO\bot\left( {BCD} \right)$ khi đó $O$ là đỉnh thứ tư của hình chữ nhật $BCDO$.

Góc giữa đường thẳng $AD$ và $BC$ là góc giữa đường thẳng $AD$ và $OD$ và bằng $\widehat{ADO} = 60^{\circ}$

Xét tam giác $ADO$ vuông tại $\left. O:\text{tan}60^{\circ} = \dfrac{OA}{OD}\Rightarrow OA = 3\sqrt{3} \right.$.

Gắn hệ tọa độ $Oxyz$ vào hình chóp như hình vẽ.

Ta có: $O\left( {0;0;0} \right);B\left( {4;0;0} \right);D\left( {0;3;0} \right);C\left( {4;3;0} \right);A\left( {0;0;3\sqrt{3}} \right)$.

$\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {4;0; - 3\sqrt{3}} \right);\overset{\rightarrow}{BC} = \left( {0;3;0} \right);\overset{\rightarrow}{AD} = \left( {0;3; - 3\sqrt{3}} \right);\overset{\rightarrow}{CD} = \left( {- 4;0;0} \right)$.

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nhận véctơ $\overset{\rightarrow}{n_{1}} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{BC}} \right\rbrack = \left( {9\sqrt{3};0;12} \right)$ làm véctơ pháp tuyến.

Mặt phẳng $\left( {ADC} \right)$ nhận véctơ $\overset{\rightarrow}{n_{2}} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{AD},\overset{\rightarrow}{CD}} \right\rbrack = \left( {0;12\sqrt{3};12} \right)$ làm véctơ pháp tuyến.

Nên $\text{cos}\left( {\left( {ABC} \right);\left( {ADC} \right)} \right) = \dfrac{\left| {\overset{\rightarrow}{n_{1}} \cdot \overset{\rightarrow}{n_{2}}} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{n_{1}} \right| \cdot \left| \overset{\rightarrow}{n_{2}} \right|} = \dfrac{4}{\sqrt{43} \cdot 2} = \dfrac{2\sqrt{43}}{43} \approx 0,3$.

Đáp án cần điền là: 0,3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.