Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ kẻ hai tiếp

Câu hỏi số 789523:

Vận dụng

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và một điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Từ $A$ kẻ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ với đường tròn $(O)$ (với $B,C$ là các tiếp điểm).
a) Chứng minh bốn điểm $A,B,O,C$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Kẻ đường kính $BD$ của đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là giao điểm của hai đường thẳng $AO$ và $BC$. Kẻ đường thẳng $CK$ vuông góc với $BD$ tại $K$. Chứng minh đường thẳng $HO$ song song với đường thẳng $CD$ và $CK.OC = AC.KD$.
c) Gọi $I$ là giao điểm của $AD$ và $CK$. Chứng minh $HI$ vuông góc với $AB$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:789523

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\widehat{ABO} = 90^{\circ}$ và $\widehat{ACO} = 90^{\circ}$ , từ đó suy ra bốn điểm $A,B,O,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$.

b) Chứng minh $HO//CD$ rồi suy ra $\widehat{CDK} = \widehat{COA}$. Từ đó ta có $\Delta CDK \sim \Delta COA\left( {\text{~g}.\text{g}} \right)$ rồi suy ra $CK.OC = AC.KD$.

Giải chi tiết

a) Vì AB là tiếp tuyến của (O) tại B nên $\widehat{ABO} = 90^{\circ}$ suy ra các điểm $A,B,O$ thuộc đường tròn đường kính $AO$.

Vì AC là tiếp tuyến của (O) tại C nên $\widehat{ACO} = 90^{\circ}$ suy ra các điểm $A,C,O$ thuộc đường tròn đường kính $AO$.

Suy ra bốn điểm $A,B,O,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$.

b) Vì AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A nên $AB = AC;OB = OC$

Suy ra $AO$ là đường trung trực của $BC$ nên $AO\bot BC$ suy ra $\widehat{OHB} = 90^{\circ}$

Vì $\widehat{BCD}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{BCD} = 90^{\circ}$

Suy ra $\widehat{OHB} = \widehat{BCD} = 90^{\circ}$ mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

Suy ra $HO//CD$.

Suy ra $\widehat{CDK} = \widehat{AOB}$ (hai góc đồng vị) mà $\widehat{COA}\ = \widehat{AOB}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra $\widehat{CDK} = \widehat{COA}$

Xét $\Delta CDK$ và $\Delta COA$ có:

$\widehat{CKD} = \widehat{ACO} = 90^{\circ}$

$\widehat{CDK} = \widehat{COA}$

Suy ra $\Delta CDK \sim \ \Delta COA\left( {\text{g}.\text{g}} \right)$

Suy ra $\dfrac{CK}{AC} = \dfrac{KD}{OC}\ (1)$

Vậy $CK.OC = AC.KD$

c) Xét $\Delta ABD$ có $IK//AB$ nên $\dfrac{IK}{AB} = \dfrac{KD}{BD}$ suy ra $\dfrac{IK}{AC} = \dfrac{KD}{2OC}$ hay $\dfrac{2IK}{AC} = \dfrac{KD}{OC}$ (2)

Từ (1), (2) suy ra $CK = 2IK$

Do đó $I$ là trung điểm $CK$

Xét $\Delta BCK$ có $H$ là trung điểm $BC$ và $I$ là trung điểm $CK$

Suy ra $HI$ là đường trung bình của $\Delta BCK$

Suy ra $HI//BK$ mà $BK$ vuông góc với $AB$ (do AB là tiếp tuyến của (O) tại B)

Vậy $HI$ vuông góc với $AB$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link