Cho đường tròn tâm $\left( {\text{O};\text{R}} \right)$ đường kính PQ. Gọi D là
Cho đường tròn tâm $\left( {\text{O};\text{R}} \right)$ đường kính PQ. Gọi D là trung điểm của đoạn OQ, từ D kẻ dây AB của đường tròn $\left( \text{O} \right)$ vuông góc với đường kính PQ. Lấy M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AP dây MQ cắt dây AB tại I.
a) Chứng minh bốn điểm $\text{D},\text{I},\text{M},\text{P}$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh: $\text{QI}.\text{QM} = \text{QB}^{2}$ và tính $\widehat{\text{APB}}$.
c) Gọi C là điểm nằm trên dây MB sao cho $\text{AM} = \text{CM}$. Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ AP để tổng $\text{S} = \text{MP} + \text{MA}$ có giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
a) $\Delta IPD$ vuông tại $D$, $\Delta MIP$ vuông tại $M$ suy ra $,M,I,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính PI
b) Chứng minh $\Delta QDI \sim \Delta QMP\left( {\text{g}.\text{g}} \right)$ và $\Delta QDB \sim \Delta QBP\left( {g.g} \right)\text{.}$ Từ đó suy ra $QI \cdot QM = QB^{2}$
Tính được $\widehat{APB} = 60^{\circ}$ nên $\Delta APB$ và $\Delta AMC$ đều. Chứng minh $\Delta AMP = \Delta ACB\text{(c}\text{.g}\text{.c)~}$ từ đó suy ra: $S = MP + MA = CB + MC = MB$.
a) Vì $AB\bot PQ$ tại $D$ nên $\bigtriangleup IPD$ vuông tại $D$, suy ra ba điểm $P;D;I$ cùng thuộc đường tròn đường kính PI (1)
Xét đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có góc $PMQ$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat{PMQ} = 90^{\circ}$ hay $\widehat{PMI} = 90^{\circ}$
Suy ra $\Delta MIP$ vuông tại $M$, suy ra ba điểm $P;M;I$ cùng thuộc đường tròn đường kính PI (2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm $P,M,I,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính PI .
b) Chứng minh $\Delta QDI \sim \Delta QMP\left( {\text{g}.\text{g}} \right)$.
Suy ra $QI \cdot QM = QD \cdot QP$ (1)
+) Xét $\Delta QDB$ và $\Delta QBP$ có
$\widehat{PDB} = \widehat{PBQ} = 90^{\circ}$
Góc Q chung
Suy ra $\Delta QDB \sim \Delta QBP\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{\text{QD}}{\text{QB}} = \dfrac{\text{QB}}{\text{QP}}$
Suy ra $QD \cdot QP = QB^{2}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $QI.QM = QB^{2}$
Xét $\Delta OAD$ vuông tại $D$ có $OD = \dfrac{1}{2}OQ = \dfrac{1}{2}R$
Ta có $\text{cos}\widehat{AOD} = \dfrac{OD}{OA} = \dfrac{1}{2}$ nên $\widehat{AOD} = 60^{\circ}$
Suy ra: $\widehat{AOB} = 120^{\circ}$.
Vì $\widehat{AOB}$là góc ở tâm chắn cung AB, $\widehat{APB}$ là góc nội tiếp chắn cung AB
nên $\widehat{APB} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOB} = \dfrac{1}{2}.120^{\circ} = 60^{\circ}$
Ta có: PD là đường trung trực của AB nên $PA = PB$
Suy ra $\Delta APB$ cân tại P mà $\widehat{APB} = 60^{\circ}$ nên $\Delta APB$ đều
Suy ra $\widehat{PAB} = 60^{\circ}$ (1)
$\Delta AMC$ có $\text{AM} = \text{CM}$ nên $\Delta AMC$ mà $\widehat{AMC} = \widehat{APB} = 60^{\circ}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
Suy ra $\Delta AMC$ đều nên $\widehat{MAC} = 60^{\circ}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\widehat{PAB} = \widehat{MAC}\left( {= 60^{\circ}} \right)$
Suy ra $\widehat{MAP} = \widehat{CAB}$
Xét $\Delta AMP$ và $\Delta ACB\ $có:
$\text{AM} = \text{AC}$
$\widehat{MAP} = \widehat{CAB}$
$\text{AP} = \text{AB}$
Suy ra $\Delta AMP = \Delta ACB\text{(c}\text{.g}\text{.c)}$
Suy ra $MP = CB$ (hai cạnh tương ứng) mà $MA = MC$
Suy ra: $S = MP + MA = CB + MC = MB$
Do $MB$ là dây cung nên $MB$ có giá trị lớn nhất khi $MB$ là đường kính của ($O;R$)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
