Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một

Câu hỏi số 790011:

Vận dụng

Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể bất kì trong không gian. Với hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp, một vệ tinh đang ở vị trí tọa độ $A\left( {- 1; - 3; - 5} \right)$ thường xuyên truyền tín hiệu đến các trạm thu ở các vị trí $B\left( {- 1;1; - 1} \right)$ và $C\left( {1; - 1; - 1} \right)$ trên mặt đất. Biết rằng mặt đất được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3$. Người ta xác định được tọa độ điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài $MA + MB + MC$ bé nhất. Tính giá trị $a + b + c$ và làm tròn đến hàng phần chục.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790011

Phương pháp giải

Chọn điểm $D$ thuộc $(C)$ sao cho $\Delta BCD$ đều.

Chứng minh $MA + MB + MC = MA + ME + ED \geq AD$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi $M = AD \cap (S)$ hay $M = AD \cap (C)$.

Giải chi tiết

Mặt cầu $(S)$ có tâm $O\left( {0;0;0} \right)$, bán kính $R = \sqrt{3}$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {0;4;4} \right)} \\ {\overset{\rightarrow}{AC} = \left( {2;2;4} \right)} \end{array}\Rightarrow\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}} \right\rbrack = \left( {8;8; - 8} \right) = 8\left( {1;1; - 1} \right) \right.$.

Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ qua $A\left( {- 1; - 3; - 5} \right)$, vectơ pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n} = \left( {1;1; - 1} \right)$ nên có phương trình $x + y - z - 1 = 0$.

Ta có $d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{1}{\sqrt{3}} < R$ nên $\left( {ABC} \right)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là đường tròn $(C)$ có bán kính $r = \sqrt{R^{2} - \left( {d\left( {O,\left( {ABC} \right)} \right)} \right)^{2}} = \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$.

Chọn điểm $D$ thuộc $(C)$ sao cho $\Delta BCD$ đều, suy ra $D\left( {1;1;1} \right)$.

Xét điểm $M$ thuộc cung nhỏ $BC$, lấy $E$ thuộc đoạn $DM$ sao cho $MC = ME$.

Mặt khác $CME = CBD = 60^{\circ}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $CD$). Vì vậy tam giác $CME$ đều.

Xét hai tam giác $CMB$ và $CED$ có $\left\{ \begin{array}{l} {CM = CE,CB = CD} \\ {\angle CBM = \angle CDE} \end{array} \right.$.

Do đó hai tam giác $CMB,CED$ bằng nhau, suy ra $MB = ED$.

Khi đó $MA + MB + MC = MA + ME + ED \geq AD = \sqrt{{(1 + 1)}^{2} + {(1 + 3)}^{2} + {(1 + 5)}^{2}} = 2\sqrt{14} \approx 7,48$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi $M = AD \cap (S)$ hay $M = AD \cap (C)$.

Ta có $\overset{\rightarrow}{AD} = \left( {2;4;6} \right) = 2\left( {1;2;3} \right)$; đường thẳng $AD$ có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + t} \\ {y = 1 + 2t} \\ {z = 1 + 3t} \end{array} \right.$.

Thay phương trình $AD$ vào phương trình $(S)$ thì: $\left. {(1 + t)}^{2} + {(1 + 2t)}^{2} + {(1 + 3t)}^{2} = 3\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t = 0} \\ {t = - \dfrac{6}{7}} \end{array} \right. \right.$

Với $t = 0$ ta có điểm $D\left( {1;1;1} \right)$.

Với $t = - \dfrac{6}{7}$ ta có điểm $M\left( {\dfrac{1}{7}; - \dfrac{5}{7}; - \dfrac{11}{7}} \right)$; suy ra $a + b + c = \dfrac{1}{7} - \dfrac{5}{7} - \dfrac{11}{7} = - \dfrac{15}{7} \approx - 2,1$.

Đáp án cần điền là: -2,1

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.