Một bể cá hình trụ thủy tinh có bán kính đáy bằng 6 dm, chiều cao bằng 5 dm; bên trong bể cá

Câu hỏi số 790010:

Vận dụng

Một bể cá hình trụ thủy tinh có bán kính đáy bằng 6 dm, chiều cao bằng 5 dm; bên trong bể cá người ta đặt một vật trang trí là khối nón đặc (đỉnh hình nón sẽ được bố trí vòi bơm nước cho bể cá), đáy hình nón có bán kính bằng 3 dm và có tâm trùng với đáy hình trụ, chiều cao hình nón bằng với chiều cao hình trụ. Người ta bơm nước vào bể với tốc độ 0,5 lít/phút; đến phút thứ 40 thì tốc độ dâng lên của nước là bao nhiêu cm/phút (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790010

Phương pháp giải

Xác định công thức thể tích theo chiều cao h

Đạo hàm 2 vế ta được $\dfrac{\text{d}V(h)}{\text{d}t}$ là tốc độ bơm nước vào bể còn $\dfrac{\text{d}h}{\text{d}t}$ là tốc độ dâng nước theo chiều cao

Tính chiều cao của bể nước tại thời điểm 40 phút từ đó tìm tốc độ dâng nước.

Giải chi tiết

Gọi $r_{h} = a.h + b$ là bán kính hình nón tương ứng với chiều cao $h$ của mực nước.

Ta có $h = 0,r_{h} = 3$ và $h = 5,r_{h} = 0$; suy ra $\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {b = 3} \\ {5a + 3 = 0} \end{array}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = - \dfrac{3}{5}} \\ {b = 3} \end{array} \right. \right. \right.$;

Vậy $r_{h} = 3 - \dfrac{3}{5}h$.

Diện tích mặt nước trong bể ứng với chiều cao $h$ là $S(h) = 6^{2}\pi - r_{h}^{2}\pi = \pi\left( {- \dfrac{9}{25}h^{2} + \dfrac{18}{5}h + 27} \right)$.

Thể tích nước ứng với chiều cao $h$ là $V(h) = \int_{0}^{h}S(h).\text{d}h = \pi\left( {- \dfrac{3}{25}h^{3} + \dfrac{9}{5}h^{2} + 27h} \right)$ (*)

Sau 40 phút bơm nước thì $\left. V(h) = 40.0,5\Rightarrow\pi\left( {- \dfrac{3}{25}h^{3} + \dfrac{9}{5}h^{2} + 27h} \right) = 40.0,5\Rightarrow h \approx 0,232 \right.$.

Đạo hàm theo $t$ hai vế của (*) ta được $\dfrac{\text{d}V(h)}{\text{d}t} = \pi\left( {- \dfrac{9}{25}h^{2} + \dfrac{18}{5}h + 27} \right)\dfrac{\text{d}h}{\text{d}t}$.

Thay $\dfrac{\text{d}V(h)}{\text{d}t} = 0,5$ dm/phút; $h \approx 0,232$ ta có $\dfrac{\text{d}h}{\text{~d}t} \approx 5,72.10^{- 3}$ dm/phút $= 0,06$ cm/phút .

Đáp án cần điền là: 0,06

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.