Tại một nút giao thông có hai con đường khác mức. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$ hai con

Câu hỏi số 790142:

Vận dụng

Tại một nút giao thông có hai con đường khác mức. Trên thiết kế, trong không gian $Oxyz$ hai con đường đó thuộc hai đường thẳng $d_{1}:\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y - 2}{1} = \dfrac{z}{- 1};d_{2}:\dfrac{x - 2}{1} = \dfrac{y + 1}{2} = \dfrac{z}{- 3}$.

Người ta muốn tạo một con đường $\text{Δ}$ cắt $d_{1},d_{2}$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $AB$ nhỏ nhất. Tính độ dài $AB$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790142

Phương pháp giải

Tìm đường vuông góc chung của hai đường thẳng

Giải chi tiết

Ta có $AB$ ngắn nhất khi $AB$ là đoạn vuông góc chung của $d_{1},d_{2}$.

Gọi $\left. A\left( {2 + a;2 + a; - a} \right) \in d_{1};B\left( {2 + b; - 1 + 2b; - 3b} \right) \in d_{2}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AB}\left( {b - a;2b - a - 3; - 3b + a} \right) \right.$.

$d_{1},d_{2}$ lần lượt có các véc tơ chỉ phương là ${\overset{\rightarrow}{u}}_{d_{1}} = \left( {1;1; - 1} \right)$ và ${\overset{\rightarrow}{u}}_{d_{2}} = \left( {1;2; - 3} \right)$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {\overset{\rightarrow}{AB} \cdot {\overset{\rightarrow}{u}}_{d_{1}} = 0} \\ {\overset{\rightarrow}{AB} \cdot {\overset{\rightarrow}{u}}_{d_{2}} = 0} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {1\left( {b - a} \right) + 1\left( {2b - a - 3} \right) - 1\left( {- 3b + a} \right) = 0} \\ {1\left( {b - a} \right) + 2\left( {2b - a - 3} \right) - 3\left( {- 3b + a} \right) = 0} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {6b - 3a - 3 = 0} \\ {14b - 6a - 6 = 0} \end{array} \right. \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = - 1} \\ {b = 0} \end{array}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {A\left( {1;1;1} \right)} \\ {B\left( {2; - 1;0} \right)} \end{array}\Rightarrow\overset{\rightarrow}{AB} = \left( {1; - 2; - 1} \right) \right. \right. \right.$

Do đó $\left| \overset{\rightarrow}{AB} \right| = \sqrt{6} \simeq 2,45$.

Đáp án cần điền là: 2,45

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.