Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA

Câu hỏi số 790346:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và MN vuông góc với nhau. Trên tia đối của tia MA lấy điểm C khác điểm M . Kẻ MH vuông góc với BC ( H thuộc BC ).

1) Chứng minh BOMH là tứ giác nội tiếp.

2) MB cắt OH tại E . Chứng minh $HE$là phân giác của $\widehat{MHB}$ và ME. MH= BE. HC .

3) Gọi giao điểm của đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp ΔMHC là K. Chứng minh ba điểm C, K, E thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790346

Phương pháp giải

1) $\Delta MOB$ vuông tại O, $\Delta MHB$ vuông tại H suy ra 4 điểm M, O, B, H cùng thuộc đường tròn đường kính MB.

2) HO là tia phân giác của $\widehat{MHB}$ nên $ME.HB = BE.MH$

Chứng minh được ΔHMC và ΔHBM đồng dạng suy ra $HB = \dfrac{MH^{2}}{HC}$

Từ đó ta có đpcm.

3) Từ $\widehat{MKC} = \widehat{MKN} = 90^{0}$ suy ra C, K, N thẳng hàng

Chứng minh được ΔMCE∽ ΔBNE(c. g .c) nên $\widehat{MEC} = \widehat{BEN}$; $\widehat{MEC} + \widehat{BEC} = 180^{0}$

Suy ra $\widehat{BEC} + \widehat{BEN} = 180^{0}$ hay N, E, C thẳng hàng. Từ đó ta có đpcm.

Giải chi tiết

a) Ta có$\Delta MOB$ vuông tại O (gt)

Suy ra 3 điểm M, O, B thuộc đường tròn đường kính MB (1)

Ta có $\Delta MHB$ vuông tại H (gt)

Suy ra 3 điểm M, H, B thuộc đường tròn đường kính MB (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm M, O, B, H cùng thuộc đường tròn đường kính MB.

Vậy BOMH là tứ giác nội tiếp.

2) Ta có OB = OC nên ΔOMB vuông cân tại O nên $\widehat{OMB} = \widehat{OBM}$ (3)

Ta có $\widehat{OBM} = \widehat{OHM}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MO)

và $\widehat{OMB} = \widehat{OHB}$ (2 góc nội tiếp cùng chắn cung OB) (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{OHB} = \widehat{OHM}$

Do đó HO là tia phân giác của $\widehat{MHB}$ nên $\dfrac{ME}{EB} = \dfrac{MH}{HB}$ (tính chất đường phân giác)

Suy ra $ME.HB = BE.MH$ (5)

Xét ΔHMC và ΔHBM có:

$\widehat{MHC} = \widehat{MHB} = 90{^\circ}$

$\widehat{HMC} = \widehat{HBM}$(cùng phụ với $\widehat{HCM}$)

Suy ra $\dfrac{MH}{BH} = \dfrac{HC}{HM}$ suy ra $HB = \dfrac{MH^{2}}{HC}$(6)

Từ (5) và (6) suy ra $ME.\dfrac{MH^{2}}{HC} = BE.MH$ hay $ME.MH = BE.HC$

ΔMHC vuông tại H nên ΔMHC nội tiếp đường tròn đường kính là MC nên $\widehat{MKC} = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

MN là đường kính của đường tròn (O) nên $\widehat{MKN} = 90^{0}$(nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Do đó $\widehat{MKN} + \widehat{MKC} = 90^{0} + 90^{0} = 180^{0}$

Suy ra 3 điểm C, K, N thẳng hàng (*)

Xét ΔMHC và ΔBMC có:

Góc C chung

$\widehat{MHC} = \widehat{BMC} = 90{^\circ}$

Suy ra ΔMHC∽ΔBMC (g.g)

Suy ra $\dfrac{HC}{MH} = \dfrac{MC}{BM}$ mà BM = BN (do tam giác MBN cân tại B)

Suy ra $\dfrac{HC}{MH} = \dfrac{MC}{BN}$

Lại có $\dfrac{HC}{MH} = \dfrac{ME}{BE}$ (do $ME.MH = BE.HC$)

Nên $\dfrac{MC}{BN} = \dfrac{ME}{BE}$ suy ra ΔMCE∽ ΔBNE(c. g .c)

Suy ra $\widehat{MEC} = \widehat{BEN}$ mà $\widehat{MEC} + \widehat{BEC} = 180^{0}$

Suy ra $\widehat{BEC} + \widehat{BEN} = 180^{0}$

Suy ra 3 điểm N, E, C thẳng hàng (**)

Từ (*) và (**) suy ra 4 điểm C, K, E, N thẳng hàng

Suy ra 3 điểm C, K, E thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link