Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
1) Chứng minh bốn điểm B, F, E, C cùng thuộc một đường tròn.
2) Gọi giao điểm của AD với (O) là I (I khác A). Chứng minh BC là đường trung trực của HI và $\Delta BFE \backsim \Delta DHE$.
3) IE cắt (O) tại K (K khác I). Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng ba điểm B, M, K thẳng hàng.
Quảng cáo
1) Tam giác BFC vuông tại F, tam giác BEC vuông tại E nên 4 điểm B, F, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
2) Lần lượt xét đường tròn đường kính CH, AB chứng minh $\widehat{BEF} = \widehat{HED}$; $\widehat{EBF} = \widehat{HDE}$, từ đó suy ra $\Delta BFE \backsim \Delta DHE$
3) Từ $\Delta BFE \backsim \Delta DHE$kết hợp điều kiện $HI = 2DH$ và $EE = 2FM$ suy ra $\dfrac{BF}{HI} = \dfrac{FM}{HE}$. Từ đó chứng minh được$\Delta BFM \backsim \Delta IHE$ nên $\widehat{ABM} = \widehat{AIK}$. Xét (O) có $\widehat{ABK} = \widehat{AIK}$suy ra $\widehat{ABM} = \widehat{ABK}$
1) Vì BE, CF là các đường cao của tam giác ABC nên:
$\widehat{BFC} = \widehat{BEC} = 90^{0}$ hay tam giác BFC và tam giác BEC là các tam giác vuông
Tam giác BFC vuông tại F nên 3 điểm B, F, C thuộc đường tròn đường kính BC (1)
Tam giác BEC vuông tại E nên 3 điểm B, E, C thuộc đường tròn đường kính BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm B, F, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
2) Ta có $\widehat{EBC} = \widehat{CAD}$ (cùng phụ với góc ACB) hay $\widehat{EBC} = \widehat{CAI}$
Xét đường tròn (O) có $\widehat{CAI} = \widehat{CBI}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CI) nên $\widehat{EBC} = \widehat{CBI}$
Khi đó BC là tia phân giác của góc HBI, mà BC vuông góc với HI nên tam giác HBI cân tại B
Do đó BC là đường trung trực của HI
Xét đường tròn đường kính BC có $\widehat{BEF} = \widehat{BCF}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF) hay $\widehat{BEF} = \widehat{HCD}$(3)
Tương tự ý 1, chứng minh được 4 điểm C, D, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính CH
Xét đường tròn đường kính CH có: $\widehat{HED} = \widehat{HCD}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) (4)
Từ (3) và (4) suy ra $\widehat{BEF} = \widehat{HED}$(5)
Tương tự ý 1, chứng minh được 4 điểm A, E, D, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB.
Xét đường tròn đường kính AB có: $\widehat{EBF} = \widehat{HDE}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AE) (6)
Từ (5) và (6) suy ra $\Delta BFE \backsim \Delta DHE$ (g.g)
3) Vì $\Delta BFE \backsim \Delta DHE$ nên $\dfrac{BF}{DH} = \dfrac{FE}{HE}$ hay $\dfrac{BF}{2DH} = \dfrac{FE}{2HE}$
Mà HI = 2DH và EE = 2FM nên $\dfrac{BF}{HI} = \dfrac{FM}{HE}$
Xét $\Delta BFM$ và $\Delta IHE$ có:
$\dfrac{BF}{HI} = \dfrac{FM}{HE}$ và $\widehat{BFM} = \widehat{IHE}$ (do $\Delta BFE \backsim \Delta DHE$)
Suy ra $\Delta BFM \backsim \Delta IHE$ (c.g.c)
Khi đó $\widehat{FBM} = \widehat{HIE}$ hay $\widehat{ABM} = \widehat{AIK}$(7)
Xét đường tròn (O) có $\widehat{ABK} = \widehat{AIK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AK) (8)
Từ (7) và (8) suy ra: $\widehat{ABM} = \widehat{ABK}$
Mà BM, BK nằm về cùng một phía đối với đường thẳng AB nên hai tia BM và BK trung nhau, hay B, M, K thẳng hàng.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
