Cho phương trình $x^{2} - 6x + 3 = 0$có hai nghiệm $x_{1},\ x_{2}$. Không giải phương trình, hãy tính

Câu hỏi số 790364:

Thông hiểu

Cho phương trình $x^{2} - 6x + 3 = 0$có hai nghiệm $x_{1},\ x_{2}$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức $P = \dfrac{\sqrt{x_{1} + 1} + \sqrt{x_{2} + 1}}{x_{1}^{2} + 6x_{2} - 5}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790364

Phương pháp giải

Áp dụng định lý Viète. Bình phương tử số của P rồi biến đổi theo $x_{1}x_{2}$ và $x_{1} + x_{2}$.

$x_{1}$ là 1 nghiệm của phương trình $x^{2} - 6x + 3 = 0$nên $x_{1}^{2} =$$6x_{1} - 3$, thay vào mẫu số rồi tính.

Giải chi tiết

Ta có: $\text{Δ} = 36 - 4.3 = 24 > 0$.

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Theo Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 6} \\ {x_{1} \cdot x_{2} = 3} \end{array} \right.$
Đặt $A = \sqrt{x_{1} + 1} + \sqrt{x_{2} + 1}(A > 0)$

$A^{2} = x_{1} + x_{2} + 2 + 2\sqrt{(x_{1}x_{2} + x_{1} + x_{2} + 1)}$

$A^{2} = 6 + 2 + 2\sqrt{3 + 6 + 1} = 8 + 2\sqrt{10}$

$A = \sqrt{8 + 2\sqrt{10}}$

Ta có $x_{1}$ là 1 nghiệm của $PT:x^{2} - 6x + 3 = 0$ nên $x_{1}^{2} = 6x_{1} - 3$
Ta có: $x_{1}^{2} + 6x_{2} - 5 = 6x_{1} - 3 + 6x_{2} - 5 = 6\left( {x_{1} + x_{2}} \right) - 8$$= 6.6 - 8 = 26$

Vậy $\text{P} = \dfrac{\sqrt{8 + 2\sqrt{10}}}{26}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link