Cho hai biểu thức: $A = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$; $B = \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \dfrac{4}{\sqrt{x}

Câu hỏi số 790549:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức: $A = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$; $B = \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \dfrac{4}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{x - 4\sqrt{x} + 15}{9 - x}$ với $x > 0{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} x \ne 9$

1) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 25$.

2) Chứng minh $B = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3}$.

3) Cho P = A: B. Tìm x nguyên để $|P| + P = 0$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790549

Phương pháp giải

1) Kiểm tra điều kiện của x.

Nếu thỏa mãn, thay $x = 25$ vào biểu thức $A$.

2) Kết hợp các tính chất của căn thức bậc hai để rút gọn biểu thức.

3) Rút gọn biểu thức P.

Lập luận $P \leq 0$.

Giải bất phương trình, kết hợp điều kiện ban đầu của $x$

Giải chi tiết

1) Thay $x = 25$ (tmđk) vào A ta được $A = \dfrac{\sqrt{25} - 1}{\sqrt{25}} = \dfrac{4}{5}$

Vậy với $x = 25$ thì $A = \dfrac{4}{5}$

2) $B = \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \dfrac{4}{\sqrt{x} - 3} - \dfrac{x - 4\sqrt{x} + 15}{x - 9}$

$= \dfrac{2\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 3} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)} + \dfrac{4\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)} - \dfrac{x - 4\sqrt{x} + 15}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$= \dfrac{2x - 6\sqrt{x} + \left( {4\sqrt{x} + 12} \right) - \left( {x - 4\sqrt{x} + 15} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$= \dfrac{x + 2\sqrt{x} - 3}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$= \dfrac{\left( {\sqrt{x} + 3} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}$

$= \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3}$

Vậy $B = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3}$.

3) $P$$= A:B$$= \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}:\dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3}$$= \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}.\dfrac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 1}$$= \dfrac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x}}$ (điều kiện bổ sung: $x \neq 1$)

Vì $|P| + P = 0$ nên $|P| = - P$

Do đó $P \leq 0$, suy ra $\dfrac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x}} \leq 0$

Vì $x > 0$ nên $\sqrt{x} > 0$, do đó $\dfrac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x}} \leq 0$ khi $\sqrt{x} - 3 \leq 0$

suy ra $\sqrt{x} \leq 3$ nên $x \leq 9$

Kết hợp với điều kiện $x > 0{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} x \ne 9$, ta được $0 < x < 9;x \neq 1$

Mà $x \in {\mathbb{Z}}$ nên $x \in \left\{ {2;3;4;5;6;7;8} \right\}$.

Vậy $x \in \left\{ {2;3;4;5;6;7;8} \right\}$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link