Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O), (B, C là tiếp điểm.

Câu hỏi số 790592:

Vận dụng

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O;R), kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O), (B, C là tiếp điểm. Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA là đường trung trực của BC và tứ giác OBAC nội tiếp.

b) Chứng minh $OH.OA = R^{2}$.

c) Trên đoạn AH lấy điểm D sao cho HB = HD, qua D kẻ DE vuông góc với OA (E $\in$ AB), gọi I là trung điểm của OE, cho R = 5 cm. Tính số đo góc IHB và độ dài cạnh BE.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:790592

Phương pháp giải

a) Chứng minh OA là đường trung trực của BC

Chứng minh O và A cách đều B, C nên OA là đường trung trực của BC.
Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp
Chứng minh $\Delta OBA$ và $\Delta OAC$ cùng thuộc đường tròn đường kính OA nên tứ giác OBAC nội tiếp.

b) Chứng minh $OH.OA = R^{2}$

Chứng minh $\Delta OHB \backsim \Delta OBA\ \left( {g.g} \right)$ suy ra $OH \cdot OA = OB²$

Mà $OB = R$ (bán kính) nên $OH.OA = R^{2}$

c) Tính số đo góc IHB

Chứng minh OBED nội tiếp đường tròn đường kính OE.

Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OBED, suy ra IB = ID (bán kính)

Chứng minh $\Delta IHB = \Delta IHD\left( {c.c.c} \right)$ suy ra $\angle IHB = \angle IHD$

Kết hợp $\angle BHD = 90^{{^\circ}}$ suy ra $\angle IHB$.

Tính độ dài cạnh BE

Chứng minh $\Delta BHD$ vuông cân tại H để tính $\angle HDB,\angle BDE$

Từ tứ giác OBED nội tiếp đường tròn nên $\angle BOE = \angle BDE = 45^{{^\circ}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE)

Chứng minh $\Delta BOE$ vuông cân tại B để tính BE.

Giải chi tiết

a) Chứng minh OA là đường trung trực của BC
Ta có:
OC = OB (bán kính)
AB = AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
nên OA là đường trung trực của BC.
Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp
Xét $\Delta OBA$ vuông tại B nên $\Delta OBA$ nội tiếp đường tròn đường kính OA, suy ra O, B, A cùng thuộc đường tròn đường kính OA (1)
Xét $\Delta OAC$ vuông tại C nên $\Delta OAC$ nội tiếp đường tròn đường kính OA, suy ra O, C, A cùng thuộc đường tròn đường kính OA (2)
Từ (1) và (2) suy ra O, B, A, C cùng thuộc đường tròn đường kính OA hay tứ giác OBAC nội tiếp.

b) Chứng minh $OH.OA = R^{2}$

Xét $\Delta OHB$ và $\Delta OBA$:

$\angle AOB$ chung

$\angle OHB = \angle OBA = 90^{{^\circ}}$

nên $\Delta OHB \backsim \Delta OBA\ \left( {g.g} \right)$
suy ra $\dfrac{OH}{OB} = \dfrac{OB}{OA}$, do đó $OH.OA = OB²$

Mà $OB = R$ (bán kính) nên $OH.OA = R^{2}$
c) Tính số đo góc IHB
Xét $\Delta OBE$ vuông tại B nên $\Delta OBE$ nội tiếp đường tròn đường kính OE, suy ra O, B, E cùng thuộc đường tròn, đường kính OE (3)

Xét $\Delta ODE$ vuông tại D nên $\Delta ODE$ nội tiếp đường tròn đường kính OE, suy ra O, D, E cùng thuộc đường tròn, đường kính OE (4)

Từ (3) và (4) suy ra O, B, D, E cùng thuộc đường tròn đường kính OE hay OBED nội tiếp đường tròn đường kính OE.
Mà I là trung điểm của OE (gt) nên OBED nội tiếp đường tròn tâm I, suy ra IB = ID (bán kính)
Xét $\Delta IHB$ và $\Delta IHD$:
IB = ID (cmt)
IH là cạnh chung
HB = HD (gt)
nên $\Delta IHB = \Delta IHD\left( {c.c.c} \right)$

suy ra $\angle IHB = \angle IHD$

Mà $\angle BHD = \angle BHA = 90^{{^\circ}}$ và $\angle IHB + \angle IHD = \angle BHD$ nên $\angle IHB = \angle IHD = \dfrac{\angle BHD}{2} = \dfrac{90^{{^\circ}}}{2} = 45^{{^\circ}}$

Tính độ dài cạnh BE

Xét $\Delta BHD$ vuông tại H có HB = HD (gt) nên $\Delta BHD$ vuông cân tại H

Suy ra $\angle HBD = \angle HDB = 45^{{^\circ}}$

Mà $\angle HDB + \angle BDE = 90^{{^\circ}}$ nên $\angle BDE = 90^{{^\circ}} - \angle HDB = 90^{{^\circ}} - 45^{{^\circ}} = 45^{{^\circ}}$

Xét tứ giác OBED nội tiếp đường tròn tâm I nên $\angle BOE = \angle BDE = 45^{{^\circ}}$(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE)

Xét $\Delta BOE$ vuông tại B có $\angle BOE = 45^{{^\circ}}$ nên là tam giác vuông cân tại B, do đó $BE = BO = R = 5cm$.

Vậy $\angle BHI = 45^{{^\circ}},BE = 5cm$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link