Cho đường tròn $(O)$. Từ một điểm $M$ nằm ngoài đường tròn, dựng hai tiếp tuyến $MA,MB$
Cho đường tròn $(O)$. Từ một điểm $M$ nằm ngoài đường tròn, dựng hai tiếp tuyến $MA,MB$ ($A,B$ là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác $MAOB$ là tứ giác nội tiếp.
b) Tia $BO$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $E$ ($E$ khác $A$), đường thẳng $ME$ cắt đường tròn tại $F$ ($F$ khác $B$), đường thẳng $AF$ cắt $MO$tại $N,MO$ cắt $AB$ tại $H$. Chứng minh $\left. \Delta MFN \right.\sim\Delta BFH$ và $N$ là trung điểm của $MH$
c) Chứng minh $\dfrac{MP^{2}}{MP^{2}} - \dfrac{EF}{MF} = 1$
Quảng cáo
a) Chứng minh M, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn.
Vậy MAOB là tứ giác nội tiếp
b) Gọi giao điểm của ME và AB là K
Chứng minh $MN^{2} = FN \cdot AN$ (***) và $NH^{2} = AN \cdot FN$ (****)
Từ (***) và (****) suy ra $MH^{2} = NH^{2}$ hay $MH = NH$ .
Mà $N \in MH$ (gt) nên N là trung điểm của MH (đpcm).
c) Theo chứng minh b, ta có MH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến trong $\Delta MAB$cân tại M.
$\left. \Rightarrow HA = HB \right.$
$\left. \Rightarrow\dfrac{HB^{2}}{HF^{2}} = \dfrac{HA^{2}}{HF^{2}} \right.$
$\Delta NFH \sim \Delta HFA$ (theo b) $\left. \Rightarrow\dfrac{HN}{HA} = \dfrac{HF}{FA} = \dfrac{NF}{HF} \right.$ (2 cạnh tương ứng)
Chứng minh $HA^{2} = AN \cdot FA$ (8)
Từ (7) và (8), suy ra $\dfrac{HA^{2}}{HF^{2}} = \dfrac{AN \cdot FA}{NF \cdot FA} = \dfrac{AN}{NF} = \dfrac{FA + FN}{NF} = \dfrac{FA}{FN} + 1$ (9)
Áp dụng định lí Thales vào $\Delta FMN$ có AE//MN, ta có: $\dfrac{FA}{FN} = \dfrac{FE}{FM} = \dfrac{EF}{MF}$ (10)
Theo (9) và (10) suy ra: $\dfrac{HA^{2}}{HF^{2}} = \dfrac{EF}{MF} + 1$$\left. \Rightarrow\dfrac{HB^{2}}{HF^{2}} - \dfrac{EF}{MF} = 1 \right.$ (đpcm).
a) Vì MA và MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $\angle MAO = 90^{{^\circ}},\angle MBO = 90^{{^\circ}}$
$\left. \Rightarrow\angle MAO \right.$ và $\angle MBO$ là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MO.
Khi đó M, A, O, B cùng nằm trên một đường tròn.
Vậy MAOB là tứ giác nội tiếp
b) +) Gọi giao điểm của ME và AB là K
$\angle BEF$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BE nên $\angle BFE = 90^{{^\circ}}$
Mà $K \in FE$ (theo cách dựng) $\left. \Rightarrow\angle BFK = 90^{{^\circ}}\Rightarrow\Delta BFK \right.$ vuông tại F.
$\left. \Rightarrow\angle FBK + \angle FKB = 90^{{^\circ}} \right.$ (1)
Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: MA=MB và MH là đường phân giác của $\angle AMB$.
$\left. \Rightarrow\Delta MAB \right.$ cân tại M $\Rightarrow$MH đồng thời là đường cao trong $\Delta MAB$
$\angle AHM = \angle KHM = 90^{\circ}$
$\Delta KMH$ vuông tại H
$\angle MKH + \angle KMH = 90^{{^\circ}}$
$\angle FKB + \angle KMH = 90^{{^\circ}}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\angle FMN = \angle HBF$ (*)
Khi $\left. \angle MFB = \angle MHB = 90^{{^\circ}}\Rightarrow\angle MFB,\angle MHB \right.$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính MB.
$\Rightarrow$M, F, H, B cùng nằm trên một đường tròn
$\left. \Rightarrow\angle HMB = \angle HFB \right.$ (góc nội tiếp cùng chắn cung HB) (3)
Ta có $\angle HMB + \angle HOB = 90^{{^\circ}}$ (do $\angle MBO = 90^{{^\circ}}$)
$\angle HBO + \angle HOB = 90^{{^\circ}}$ (do $\angle OHB = 90^{{^\circ}}$)
$\left. \Rightarrow\angle HMB = \angle HBO \right.$ (4)
Ta có $\angle ABE = \angle AFE$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AE trong (O) (5)
Mặt khác $\angle AFE = \angle MFN$ (hai góc đối đỉnh) (6)
Từ (3), (4), (5), (6) suy ra $\angle MFN = \angle BFH$ (**)
Xét $\Delta MFN$ và $\Delta BFH$ta có:
+$\angle MEN = \angle BFH\ $(theo (**))
+$\angle FMN = \angle FBH$ (theo (*))
$\left. \Rightarrow\Delta MFN \sim \Delta BFH \right.$ (g.g)
Ta có $\angle MFH = \angle MFB + \angle BFH = 90^{\circ} + \angle BFH$
$\angle BFA = \angle BFK + \angle KFA = 90^{{^\circ}} + \angle KFA$
Mà $\angle BFH = \angle KFA$ (theo chứng minh 5)
Suy ra $\angle MFH = \angle BFA$
Xét $\Delta MFH$ và $\Delta BFA$, ta có:
+$\ \angle MFH = \angle BFA$ (chứng minh trên)
+ $\angle FMH = \angle FBH$ (chứng minh (*))
$\left. \Rightarrow\Delta MFH \sim \Delta BFA \right.$ (g.g)
+) Theo chứng minh a, $\angle ABO = \angle AMO$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AO)
Mà $\angle ABO = \angle MFN$ (theo các chứng minh trên)
$\left. \Rightarrow\angle AMN = \angle MFN \right.$
Xét $\Delta MFN$ và $\Delta AMN$ ta có:
$\angle ANM$ chung
$\angle AMN = \angle MFN$ (chứng minh trên)
$\left. \Rightarrow\Delta MFN \sim \Delta AMN \right.$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{MN}{AN} = \dfrac{FN}{MN} \right.$ (hai cạnh tương ứng).
Suy ra $MN^{2} = FN \cdot AN$ (***)
Ta có $\angle MFN + \angle NFB = 90^{{^\circ}}$ (cmt)
$\angle MFN = \angle BFH$ (cmt)
$\left. \Rightarrow\angle BFH + \angle NFB = 90^{{^\circ}}\Rightarrow HF\bot AN \right.$
Xét $\Delta NFH$ và $\Delta HFA$, ta có
+ $\angle NFH = \angle AFH = 90^{{^\circ}}$ (cmt)
+ $\angle FNH = \angle FHA$ (cùng phụ với $\angle FHN$)
$\left. \Rightarrow\Delta NFH \sim \Delta HFA \right.$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{NH}{FN} = \dfrac{AN}{NH} \right.$ (hai cạnh tương ứng).
Suy ra $NH^{2} = AN \cdot FN$ (****)
Từ (***) và (****) suy ra $MH^{2} = NH^{2}$ hay $MH = NH$ .
Mà $N \in MH$ (gt) nên N là trung điểm của MH (đpcm).
c) Theo chứng minh b, ta có MH là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến trong $\Delta MAB$cân tại M.
$\left. \Rightarrow HA = HB \right.$
$\left. \Rightarrow\dfrac{HB^{2}}{HF^{2}} = \dfrac{HA^{2}}{HF^{2}} \right.$
$\Delta NFH \sim \Delta HFA$ (theo b) $\left. \Rightarrow\dfrac{HN}{HA} = \dfrac{HF}{FA} = \dfrac{NF}{HF} \right.$ (2 cạnh tương ứng)
$\left. \Rightarrow HF^{2} = NF \cdot FA \right.$ (7)
Xét $\Delta HAN$ và $\Delta FAH$ ta có
+$\angle FAH$ chung
+$\angle AHN = \angle AFH = 90^{\circ}$
$\left. \Rightarrow\Delta HAN \sim \Delta FAH \right.$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{HA}{AN} = \dfrac{FA}{HA}\Rightarrow HA^{2} = AN \cdot FA \right.$ (8)
Từ (7) và (8), suy ra $\dfrac{HA^{2}}{HF^{2}} = \dfrac{AN \cdot FA}{NF \cdot FA} = \dfrac{AN}{NF} = \dfrac{FA + FN}{NF} = \dfrac{FA}{FN} + 1$ (9)
Ta có: $\angle AEF = \angle ABF$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
Mà $\left. \angle ABF = \angle FMN\Rightarrow\angle AEF = \angle FMN \right.$
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên AE//MN
Áp dụng định lí Thales vào $\Delta FMN$ có AE//MN, ta có: $\dfrac{FA}{FN} = \dfrac{FE}{FM} = \dfrac{EF}{MF}$ (10)
Theo (9) và (10) suy ra: $\dfrac{HA^{2}}{HF^{2}} = \dfrac{EF}{MF} + 1$$\left. \Rightarrow\dfrac{HB^{2}}{HF^{2}} - \dfrac{EF}{MF} = 1 \right.$ (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
