Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có đường cao $BD$ và $CE$.a) Chứng
Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có đường cao $BD$ và $CE$.
a) Chứng minh bốn điểm $B,C,D,E$ cùng nằm trên một đường tròn
b) Trên tia đối của tia O A lấy điểm $F$ sao cho $OA = OF$. Chứng minh $AE \cdot AB = AD \cdot AC$ và $\angle ABC = \angle AFC$
c) Chứng minh $OA\bot DE$
Quảng cáo
a) $\angle BDC$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC
$\angle BEC$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC
Vậy bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên đường tròn đường kính BC(đpcm)
b) Chứng minh $\Delta AED \sim \Delta ACB$(g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{AE}{AD} = \dfrac{AC}{AB} \right.$ (hai cạnh tương ứng)
Suy ra $AE \cdot AB = AD \cdot AC$ (đpcm)
+) Vì $OA = OF$ mà OA là bán kính của (O) nên $F \in (O)$
$\left. \Rightarrow\angle ABC = \angle AFC \right.$ (là góc nội tiếp chắn cung AC trong đường tròn (O) (đpcm)
c) Dựng tiếp tuyến Ax của đường tròn (O)
Ta có $OA\bot Ax$
Để chứng minh $OA\bot DE$, ta cần chứng minh $DE//Ax$
Chứng minh $\angle ADC = \angle CAx$
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên $DE//Ax$
Mà $OA\bot Ax$
Vậy $OA\bot DE$ (đpcm).
a) Vì BD là đường cao của tam giác (gt) nên $\angle BDC = 90^{{^\circ}}$
$\Rightarrow$ $\angle BDC$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC
Vì CE là đường cao của tam giác (gt) nên $\angle BEC = 90^{{^\circ}}$
$\left. \Rightarrow\angle BEC \right.$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BC
Vậy bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên đường tròn đường kính BC(đpcm)
b) +) Ta có $\angle AEC = 90^{{^\circ}}$ (gt) nên $\angle AED + \angle DEC = 90^{\circ}$ (1)
Mặt khác vì BEDC là tứ giác nội tiếp 9theo chứng minh a
nên $\angle DEC = \angle DBC$ (góc nội tiếp chắn cung DC) (2)
Mà $\angle BDC = 90^{{^\circ}}$ nên $\Delta BDC$ là tam giác vuông tại D.
$\left. \Rightarrow\angle DBC + \angle DCB = 90^{{^\circ}} \right.$ (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra $\angle AED = \angle ACB$.
Xét $\Delta AED$ và $\Delta ACB$, ta có:
+ $\angle AED = \angle ACB$ (chứng minh trên)
+ $\angle A$ chung
$\left. \Rightarrow\Delta AED \sim \Delta ACB \right.$(g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{AE}{AD} = \dfrac{AC}{AB} \right.$ (hai cạnh tương ứng)
Suy ra $AE \cdot AB = AD \cdot AC$ (đpcm)
+) Vì $OA = OF$ mà OA là bán kính của (O) nên $F \in (O)$
$\left. \Rightarrow\angle ABC = \angle AFC \right.$ (là góc nội tiếp chắn cung AC trong đường tròn (O) (đpcm)
c) Dựng tiếp tuyến Ax của đường tròn (O)
Ta có $OA\bot Ax$
Để chứng minh $OA\bot DE$, ta cần chứng minh $DE//Ax$
Trong đường tròn (O), ta có $\angle ACF$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) (do AF là đường kính)
Nên $\angle ACF = 90^{\circ}$$\left. \Rightarrow\Delta ACF \right.$ vuông tại F
$\angle AFC + \angle CAF = 90^{\circ}$
Mà $\angle OAx = 90^{{^\circ}}$ nên $\angle OAD + \angle DAx = \angle FAC + \angle CAx = 90^{\circ}$
$\left. \Rightarrow\angle AFC = \angle CAx \right.$
Ta có $\angle AFC = \angle ABC$ (theo chứng minh)
Vì BEDC là tứ giác nội tiếp nên: $\angle EBC + \angle EDC = 180^{{^\circ}}$
Mặt khác $\angle CDE + \angle EDA = 180^{\circ}$
$\left. \Rightarrow\angle ADE = \angle ABC = \angle AFC = \angle CAx \right.$
$\left. \Rightarrow\angle ADC = \angle CAx \right.$
Mà hai góc ở vị trí so le trong nên $DE//Ax$
Mà $OA\bot Ax$
Vậy $OA\bot DE$ (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
