Cho $\Delta~ABC$ nhọn $\left( {AB > AC} \right)$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Hai đường cao $AD$ và
Cho $\Delta~ABC$ nhọn $\left( {AB > AC} \right)$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Hai đường cao $AD$ và $BE$ cắt nhau tại $H.$ Tia $AD$ kéo dài cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $K$($K$khác$A$).
a) Chứng minh tứ giác $AEDB$ nội tiếp.
b) Chứng minh $\Delta~BHK$cân và $D$ là trung điểm của $HK.$
c) Tia $KE$ cắt đường tròn $(O)$ tại $N$$(N$khác$K).$ Qua $N$ vẽ dây cung $NM$ của đường tròn $(O)$ sao cho $NM$ song song với $BE.$ Gọi $I,~J$ lần lượt là giao điểm của $MN$ và $AB,~AD.$ Chứng minh $\angle MAI = \angle KED$ và $MI~ = ~IJ.$
Quảng cáo
a) $\Delta~ABE$ vuông tại $E$, $\Delta~ABD$ vuông tại $D$ nên bốn điểm $D,~E,~A,~B~$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB.$
b) Chứng minh được$\Delta~BHK$cân, từ đó suy ra $D$ là trung điểm của $HK.$
c) Từ $\angle HEK = \angle MNK = \angle MAJ$ và $\angle BAH = \angle HED$ suy ra $\angle MAI = \angle KED$.
Chứng minh được $\Delta~MAI \backsim \Delta~KED$ (g.g); $\Delta~AIJ \backsim \Delta~EDH$(g.g)
Khi đó: $\dfrac{MI}{KD} = \dfrac{JI}{HD}$ nên $MI~ = ~IJ.$
a) Vì $BE\bot AC$ tại $E$ nên $\angle AEB = 90{^\circ}$.
$\Delta~ABE$ vuông tại $E$ nên $E$ thuộc đường tròn đường kính $AB.$
Vì $AD\bot BC$ tại $D$ nên $\angle ADB = 90{^\circ}$.
$\Delta~ABD$ vuông tại $D$ nên $D$ thuộc đường tròn đường kính $AB.$
Suy ra bốn điểm $D,~E,~A,~B~$cùng thuộc đường tròn đường kính $AB.$
Do đó, tứ giác $AEDB$ nội tiếp.
b) Ta có: $\angle AKB = \angle ACB$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)
$\angle BHD = \angle ACB$ (cùng phụ với góc $\angle HBD$)
Suy ra $\angle AKB = \angle BHD$ hay $\angle HKB = \angle BHK$
Do đó $\Delta~BHK$cân tại B suy ra $D$ là trung điểm của $HK.$
c) Vì $BE\text{//}MN$ nên $\angle HEK = \angle MNK$ (hai góc đồng vị)
mà $\angle MNK = \angle MAJ$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MK)
Suy ra $\angle HEK = \angle MAJ$
Lại có tứ giác $AEDB$ nội tiếp nên $\angle BAH = \angle HED$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
Suy ra: $\angle MAI = \angle KED$.
Xét $\Delta~MAI$ và $\Delta~KED$ có:
$\angle AMI = \angle EKD$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AN)
$\angle MAI = \angle KED$ (cmt)
Suy ra $\Delta~MAI \backsim \Delta~KED$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{IA}{ED} = \dfrac{MI}{KD}$ (1)
Vì $BE\text{//}MN$ nên $\angle NJH = \angle JHB$ (hai góc so le trong)
Mà $\angle NJH = \angle AJI$; $\angle DHE = \angle JHB$ (hai góc đối đỉnh)
Suy ra $\angle AJI = \angle DHE$
Xét $\Delta~AIJ$ và $\Delta~EDH$ có:
$\angle IAJ = \angle HED$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
$\angle AJI = \angle DHE$ (cmt)
Suy ra $\Delta~AIJ \backsim \Delta~EDH$(g.g)
Suy ra $\dfrac{IA}{ED} = \dfrac{JI}{DH}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $\dfrac{MI}{KD} = \dfrac{JI}{HD}$
Mà $HD = KD$(cmt) nên $MI~ = ~IJ$ (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
