Cho đường tròn $(O)$ đường kính BC, điểm A nằm trên đường tròn $(O)$ sao cho $AB < AC$ (A khác

Câu hỏi số 793100:

Vận dụng

Cho đường tròn $(O)$ đường kính BC, điểm A nằm trên đường tròn $(O)$ sao cho $AB < AC$ (A khác B). Kẻ đường cao AH của tam giác $ABC(H \in BC)$. Qua điểm $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại điểm D.

a) Chứng minh bốn điểm A,D,H,O cùng nằm trên một đường tròn;

b) Điểm I là giao điểm của các đường thẳng AH và OD. Đường thẳng BI cắt đường thẳng AC tại điểm F. Tiếp tuyến tại B của đường tròn $(O)$ cắt đường thẳng AC tại điểm M. Chứng minh $AB^{2} = AH.BM$ và $AM = AF$

c) Qua điểm I kẻ đường thẳng $(d)$ song song với đường thẳng AO, qua điểm B kẻ đường thẳng $(d')$ song song với đường thẳng AC, hai đường thẳng $(d)$ và $(d')$ cắt nhau tại K. Chứng minh tam giác KFC cân.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:793100

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta AHO$ vuông tại H và $\Delta ADO$ vuông tại D

Suy ra A, H, D, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO

b) Chứng minh $\Delta ABH \sim \Delta CMB\left( {g.g} \right)$ suy ra $\dfrac{BH}{BM} = \dfrac{AH}{BC}$ hay $AH.BM = BH.BC$ (1)

Chứng minh $\Delta ABH \sim \Delta CBA\left( {g.g} \right)$ suy ra $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BH}{AB}$ hay $AB^{2} = BH.BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AB^{2} = AH.BM$

Chứng minh AI là đường trung bình của $\Delta FMB$ suy ra A là trung điểm MF.

Vậy $AM = AF$

c) Chứng minh IK là đường trung trực của BF. Suy ra $KB = KF$ (3)

Chứng minh $OK$ là trung trực của BC hay $KB = KC$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $KF = KC$ hay $\Delta KFC$ cân tại K

Giải chi tiết

a) Do $AH\bot BC$ nên $\Delta AHO$ vuông tại H nên A, H, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO

Tương tự $OD\bot AB$ nên $\Delta ADO$ vuông tại D nên A, D, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO

Suy ra A, H, D, O cùng thuộc đường tròn đường kính AO

b) Do $A \in (O)$ nên $\angle BAC = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét $\Delta ABM$ vuông tại A có $\angle AMB + \angle MBA = 90^{0}$

Xét $\Delta MBC$ vuông tại B (tính chất tiếo tuyến) có $\angle ABC + \angle MBA = 90^{0}$

Suy ra $\angle AMB = \angle ABC$

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CMB$ có $\angle ABC = \angle CMB$ và $\angle AHB = \angle CBM\left( {= 90^{0}} \right)$

Nên $\Delta ABH \sim \Delta CMB\left( {g.g} \right)$ suy ra $\dfrac{BH}{BM} = \dfrac{AH}{BC}$ hay $AH.BM = BH.BC$ (1)

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CBA$ có $\angle ABC$ chung và $\angle AHB = \angle BAC\left( {= 90^{0}} \right)$

Nên $\Delta ABH \sim \Delta CBA\left( {g.g} \right)$ suy ra $\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{BH}{AB}$ hay $AB^{2} = BH.BC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AB^{2} = AH.BM$

Do $OD\bot AB,AC\bot AB$ nên $OD \parallel AC$.

Mà O là trung điểm BC nên OI là đường trung bình của $\Delta FBC$ suy ra I là trung điểm BF

Lại có $AI \parallel MB\left( {\bot BC} \right)$ nên AI là đường trung bình của $\Delta FMB$ suy ra A là trung điểm MF.

Vậy $AM = AF$

c) Xét $\Delta ABO$ có OD, AH là đường cao cắt nhau tại I nên I là trực tâm

suy ra $BI\bot AO$. Mà $IK \parallel AO$ nên $IK\bot BF$

Ta có $I$ là trung điểm của BF (cmt)

Vậy IK là đường trung trực của BF. Suy ra $KB = KF$ (3)

Do $BK \parallel AC$ mà $AC\bot AB$ nên $BK\bot AB$

Ta có $\angle KIO = \angle IOA$ (so le trong).

Mà $\angle IOA = \angle IOB$ (do $\Delta OAB$ cân tại O có OD là đường cao nên đồng thời là phân giác).

Suy ra $\angle KIO = \angle IOB$

Gọi N là giao điểm của IK và OB thì $\Delta INO$ cân tại N nên $NI = NO$

Từ $\angle KIO = \angle IOB$ suy ra $\angle IKB = \angle OBK$ (cặp góc so le trong của $IO \parallel BK$)

Suy ra $\Delta NBK$ cân tại N hay $NB = NK$

Suy ra $OB = IK$

Mà $OB = OA$ nên $IK = OA$

Kết hợp $OA \parallel IK$ nên AOKI là hình bình hành

Suy ra $OK \parallel AH$. Mà $AH\bot BC$ nên $OK\bot BC$

Suy ra $OK$ là trung trực của BC hay $KB = KC$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $KF = KC$ hay $\Delta KFC$ cân tại K

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link