Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BD và CE cắt nhau tại Ha) Chứng minh
Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh AE.AB = AD.AC
c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AH. Gọi K, L lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng OM và CE, MN và BD. Chứng minh $\angle MLB = \angle MKB$
Quảng cáo
a) Chứng minh B, C, E, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh $\Delta ABD \sim \Delta ACE\left( {g.g} \right)$
c) Chứng minh A, E, H, D cùng thuộc đường tròn tâm N, đường kính AH.
Suy ra $NE = ND$ và $ME = MD$. Suy ra MN là trung trực của ED hay $MN\bot ED$ tại P.
Lại có BCDE nội tiếp nên $\angle PDL = \angle MCK$ (cùng chắn cung BE)
Chứng minh $\Delta PDL \sim \Delta MCK\left( {g.g} \right)$ suy ra $\angle PLD = \angle MKC$ (cặp góc tương ứng)
Mà $\angle PLD = \angle MLB$ (đối đỉnh) và $\angle MKC = \angle MKB$ (do M thuộc trung trực của BC)
Vậy $\angle MLB = \angle MKB$ (đpcm)
a) Do $BD\bot AC$ nên $\Delta BCD$ vuông tại D. Khi đó B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Do $CE\bot AB$ nên $\Delta BCE$ vuông tại E. Khi đó B, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Suy ra B, C, E, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn.
b) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta ACE$ có $\angle BAC$ chung
$\angle ADB = \angle AEC\left( {= 90^{0}} \right)$
Khi đó $\Delta ABD \sim \Delta ACE\left( {g.g} \right)$ suy ra $\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AE}$ hay $AB.AE = AC.AD$
c) Do M là trung điểm của BC nên OM là trung tuyến của $\Delta OBC$ cân tại O.
Suy ra OM đồng thời là đường cao hay $OM\bot BC$. Khi đó OM là trung trực của BC
Ta có $\Delta AEH$vuông tại E và $\Delta ADH$ vuông tại D nên A, E, H, D cùng thuộc đường tròn tâm N, đường kính AH.
Suy ra $NE = ND$ và $ME = MD$. Suy ra MN là trung trực của ED hay $MN\bot ED$ tại P.
Lại có BCDE nội tiếp nên $\angle PDL = \angle MCK$ (cùng chắn cung BE)
Xét $\Delta PDL$ và $\Delta MCK$ có $\angle PDL = \angle MCK$ và $\angle DPL = \angle CMK\left( {= 90^{0}} \right)$
Nên $\Delta PDL \sim \Delta MCK\left( {g.g} \right)$ suy ra $\angle PLD = \angle MKC$ (cặp góc tương ứng)
Mà $\angle PLD = \angle MLB$ (đối đỉnh) và $\angle MKC = \angle MKB$ (do M thuộc trung trực của BC)
Vậy $\angle MLB = \angle MKB$ (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
