Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh 4 điểm A, C, D, F cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh tam giác FHD đồng dạng tam giác FEC.
c) Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. Đường thẳng KF cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai P. Gọi N là giao điểm của CP và EF, I là trung điểm của AH và M là trung điểm của BC. Chứng minh tam giác FHK đồng dạng tam giác NEC và ba điểm M, N, I thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Chứng minh $\Delta ADC$ vuông tại D và $\Delta AFC$ vuông tại F nên A, D, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
b) Chứng minh A, F, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Tương tự A, E, D, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB
và F, D, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính BH.
Khi đó suy ra các góc nội tiếp cùng chắn một cung bằng nhau.
c) Chứng minh MI là trung trực của EF
Mà N là trung điểm EF nên M, N, I thẳng hàng.
a) $\Delta ADC$ vuông tại D nên A, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC
$\Delta AFC$ vuông tại F nên A, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC
Vậy A, D, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC
b) Ta có $\Delta AFH$ vuông tại F và $\Delta AEH$ vuông tại E nên A, F, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Tương tự A, E, D, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB
và F, D, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính BH.
Khi đó $\angle HAE = \angle HFE$ (cùng chắn cung HE)
$\angle HAE = \angle HBD$ (cùng chắn cung DE)
Lại có $\angle HBD = \angle DFH$ (cùng chắn cung HD)
Vậy $\angle HFE = \angle DFH$
Tương tự $\angle HDF = \angle HBF = \angle FCE$ nên suy ra $\Delta HFD \sim \Delta EFC\left( {g.g} \right)$
c) Xét $\Delta FHK$ và $\Delta NEC$ có $\angle FHK = \angle NEC$ (do $\Delta HFD \sim \Delta EFC\left( {g.g} \right)$)
$\angle FKH = \angle NCE$ (cùng chắn cung AP)
Vậy $\Delta FHK \sim \Delta NEC\left( {g.g} \right)$
Do $\Delta FHK \sim \Delta NEC\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{NE}{FH} = \dfrac{EC}{HK}$ nên $NE = \dfrac{EC.FH}{HK}$
Theo b) $\Delta HFD \sim \Delta EFC\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{EF}{HF} = \dfrac{EC}{HD}$ nên $EF = \dfrac{EC.HF}{HD}$
Suy ra $\dfrac{NE}{EF} = \dfrac{HD}{HK}$
Ta có $\angle KBD = \angle KAC = \angle DBH$ nên $BD$ vừa là đường cao vừa là phân giác của $\Delta KBH$
Suy ra $BD$ là trung tuyến hay $HD = DK$
Suy ra $\dfrac{NE}{EF} = \dfrac{HD}{HK} = \dfrac{1}{2}$ hay N là trung điểm của EF
Lại có $IE = IF$ (bán kính của đường tròn đường kính AH)
và $ME = MF$ (bán kính của đường tròn đường kính BC)
Nên MI là trung trực của EF
Mà N là trung điểm EF nên M, N, I thẳng hàng.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
