Cho tam giác ABC nhọn, có AB < AC và nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF của
Cho tam giác ABC nhọn, có AB < AC và nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh rằng BFEC là tứ giác nội tiếp và $\angle AFE = \angle ACB$
b) Trong trường hợp $\angle BAC = 60^{o}$ và R = 3 cm, hãy tính diện tích hình quạt tròn ứng với cùng nhỏ BC của đường tròn (O; R).
c) Gọi K là trực tâm của tam giác AEF và M là giao điểm của AK và EF. Chứng minh rằng đường thẳng HK song song với đường thẳng MD.
Quảng cáo
a) Chứng minh B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay BFEC là tứ giác nội tiếp
Khi đó $\angle BCE + \angle BFE = 180^{0}$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
Mà $\angle BFE + \angle AFE = 180^{0}$ (hai góc kề bù) nên $\angle AFE = \angle ACB$.
b) Áp dụng công thức $S_{q} = \dfrac{\pi.R^{2}.n}{360}$.
c) Chứng minh $\Delta AEF \backsim \Delta ABC\,\,\left( {g.g} \right)$
Mà $K,\,\, H$ tương ứng là trực tâm của $\Delta AEF,\,\,\Delta ABC$
Và $AM,\,\, AD$ tương ứng là các đường cao hạ từ $A$ xuống $EF,\,\, BC$
Do đó $\dfrac{AK}{AH} = \dfrac{AM}{AD}$ hay $\dfrac{AK}{AM} = \dfrac{AH}{AD}$
Từ đó suy ra $HK \parallel MD$ (theo định lí Thales đảo)
a) Do BE, CF là các đường cao nên $\Delta BFC$ vuông tại F suy ra B, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
và $\Delta BEC$ vuông tại E nên B, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Vậy B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay BFEC là tứ giác nội tiếp
Khi đó $\angle BCE + \angle BFE = 180^{0}$ (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp)
Mà $\angle BFE + \angle AFE = 180^{0}$ (hai góc kề bù) nên $\angle AFE = \angle ACB$.
b) Ta có $\angle BOC = 2\angle BAC = 2.60^{0} = 120^{0}$ (cùng chắn cung BC)
Khi đó $S_{q} = \dfrac{\pi.R^{2}.120}{360} = \dfrac{\pi.3^{2}.120}{360} \approx 9,42$ cm2
c) Ta có $\Delta OAB$ cân tại O nên:
$\angle OAB = \angle OBA = \dfrac{180^{0} - \angle AOB}{2} = 90^{0} - \dfrac{\angle AOB}{2} = 90^{0} - \angle ACB$
Lại có BFEC nội tiếp nên $\angle AEF = \angle BCA$ (cùng cộng $\angle BFE$ bằng 1800)
Suy ra $\angle OAB + \angle AFE = 90^{0} - \angle ACB + \angle ACB = 90^{0}$ hay $\Delta AMF$ vuông tại M
Suy ra $AO\bot EF$
Mà $AK\bot EF$ tại $M$ nên $A,\,\, K,\,\, M,\,\, O$ thẳng hàng
Xét $\Delta AEF$ và $\Delta ABC$ có
$\begin{array}{l} {\angle BAC\,\, chung} \\ {\angle AFE = \angle ACB} \end{array}$
Do đó $\Delta AEF \backsim \Delta ABC\,\,\left( {g.g} \right)$
Mà $K,\,\, H$ tương ứng là trực tâm của $\Delta AEF,\,\,\Delta ABC$
Và $AM,\,\, AD$ tương ứng là các đường cao hạ từ $A$ xuống $EF,\,\, BC$
Do đó $\dfrac{AK}{AH} = \dfrac{AM}{AD}$ hay $\dfrac{AK}{AM} = \dfrac{AH}{AD}$
Từ đó suy ra $HK \parallel MD$ (theo định lí Thales đảo)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
