Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H.
a) Chứng minh rằng tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh rằng $\angle EFC = \angle EBC$ và HE.DB = HF.DE.
c) Hai tiếp tuyến cùa đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại K. Qua K vẽ đường thẳng d song song với EF, d cắt hai đường thẳng AB, AC lần lượt tại M, N. Chứng minh rằng AM vuông góc với BN.
Quảng cáo
a) Chứng minh $\Delta HDC$ vuông tại D và $\Delta HEC$ vuông tại E.
Vậy H, E, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính HC hay tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh $\Delta HEF \sim \Delta DEB\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{HE}{DE} = \dfrac{HF}{DB}$ hay $HE \cdot DB = HF \cdot DE$
c) Chứng minh $KM = KN = KB = KC$ hay M, N, C, B cùng thuộc đường tròn đường kính MN
Suy ra $\angle MBN = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy $AM\bot BN$
a) Do AD, BE là các đường cao của $\Delta ABC$ nên $\Delta HDC$ vuông tại D
Khi đó H, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC
Tương tự $\Delta HEC$ vuông tại E nên H, C, E cùng thuộc đường tròn đường kính HC
Vậy H, E, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính HC hay tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn.
b) Tương tự câu a ta có $\Delta BEC$ vuông tại E và $\Delta BFC$ vuông tại F nên B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC. Suy ra $\angle EFC = \angle EBC$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EC)
Do EFCB nội tiếp nên $\angle FEB = \angle FCB$ (cùng chắn cung BF)
Lại có $\angle HED = \angle HCD$ (cùng chắn cung HD) nên $\angle FEB = \angle BED$
Kết hợp với $\angle EFH = \angle HBD$ (cùng chắn cung CE) suy ra $\Delta HEF \sim \Delta DEB\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{HE}{DE} = \dfrac{HF}{DB}$ hay $HE \cdot DB = HF \cdot DE$
c) Ta có $KB = KC$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và $OB = OC$ (cùng bằng bán kính của (O))
Suy ra OK là trung trực của BC
Ta có $\angle OBK = 90^{0}$ (do KB là tiếp tuyến) nên $\angle MBK + \angle OBA = 180^{0} - \angle OBK = 90^{0}$
Hay $\angle MBK = 90^{0} - \angle OBA$ (1)
Ta có $\angle ACB = \angle AFE$ do cùng cộng với $\angle EFB$ bằng 1800
Suy ra $\angle OBA = \angle OAB = \dfrac{180^{0} - \angle AOB}{2} = 90^{0} - \dfrac{\angle AOB}{2} = 90^{0} - \angle ACB = 90^{0} - \angle AFE$
Thay vào (1) suy ra $\angle MBK = 90^{0} - \left( {90^{0} - \angle AFE} \right) = \angle AFE$
Mà $\angle AFE = \angle AMN$ (cặp góc đồng vị) nên $\angle MBK = \angle BMK$ hay $\Delta MBK$ cân tại K
Suy ra $MK = KB$
Chứng minh tương tự ta được $\Delta KCN$ cân tại K hay $KC = KN$
Vậy $KM = KN = KB = KC$ hay M, N, C, B cùng thuộc đường tròn đường kính MN
Suy ra $\angle MBN = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Vậy $AM\bot BN$
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
