Cho đường tròn $(O)$ và dây cung AB khác đường kính. Điểm C nằm trên đường thẳng AB sao cho A
Cho đường tròn $(O)$ và dây cung AB khác đường kính. Điểm C nằm trên đường thẳng AB sao cho A nằm giữa B và C. Vẽ đường kính DE của $(O)$ vuông góc với dây cung AB tại K (D nằm trên cung lớn AB. Tia CD cắt $(O)$ tại I (I khác D). Các dây AB và EI cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác DIHK nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh $CI.CD = CH.CK$và $HA.IB = HB.IA$.
c) Vẽ DT vuông góc với đường thẳng AI tại T, đường tròn đường kính CK cắt đoạn thẳng CD tại G (G khác D). Chứng minh K, G, T thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Chứng minh $D,I,H,K$ cùng thuộc đường tròn đường kính DH hay tứ giác DIHK nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh $\Delta CIH \sim \Delta CKD\left( {g.g} \right)$ nên $CI.CD = CH.CK$
Chứng minh IE là phân giác của góc AIB nên $\dfrac{HA}{HB} = \dfrac{IA}{IB}$ (tính chất đường phân giác) hay $HA.IB = HB.IA$.
c) Chứng minh $TK \parallel IE$ (1) và $KG \parallel EI$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $T,G,K$ thẳng hàng
a) Do $DE\bot AB$ tại K nên $\Delta DKH$ vuông tại K
Suy ra $D,K,H$ cùng thuộc đường tròn đường kính DH
Lại có $\angle DIE = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\Delta DIH$ vuông tại I
Suy ra $D,I,H$ cùng thuộc đường tròn đường kính DH
Vậy $D,I,H,K$ cùng thuộc đường tròn đường kính DH hay tứ giác DIHK nội tiếp đường tròn.
b) Xét $\Delta CIH$ và $\Delta CKD$ có $\angle DCK$ chung và $\angle CIH = \angle CKD = 90^{0}$
Suy ra $\Delta CIH \sim \Delta CKD\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{CI}{CK} = \dfrac{CH}{CD}$ hay $CI.CD = CH.CK$
Xét $\Delta OAB$ cân tại O có đường cao OK nên OK đồng thời là phân giác
Khi đó $\angle AOK = \angle KOB$ suy ra cung $AE$ = cung $BE$
Suy ra $\angle AIE = \dfrac{1}{2}sd\, cung\, AE = \dfrac{1}{2}sd\, cung\, BE = \angle EIB$
Vậy IE là phân giác của góc AIB nên $\dfrac{HA}{HB} = \dfrac{IA}{IB}$ (tính chất đường phân giác) hay $HA.IB = HB.IA$.
c) Do $\Delta DTA$ vuông tại T và $\Delta DAK$ vuông tại K nên D, T, A, K cùng thuộc đường tròn DA
Khi đó $\angle TKD = \angle TAD$ (cùng chắn cung TD)
Mà $\angle TAD = \angle IAD = \angle IED$ (cùng chắn cung ID) nên $\angle TKD = \angle IED$
Suy ra $TK \parallel IE$ (1)
Do G thuộc đường tròn đường kính CK nên $\angle CGK = 90^{0}$ nên $KG\bot CD$
Mà $EI\bot CD$ (do I thuộc đường tròn đường kính DE) nên $KG \parallel EI$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $T,G,K$ thẳng hàng
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
