a) Đầu năm học mới, hai bạn Nam và Hùng cùng đi mua bút và vở. Nam mua 10 cái bút và 15 quyển

Câu hỏi số 795134:

Vận dụng

a) Đầu năm học mới, hai bạn Nam và Hùng cùng đi mua bút và vở. Nam mua 10 cái bút và 15 quyển vở hết 200 nghìn đồng, Hùng mua 7 cái bút và 14 quyển vở hết 175 nghìn đồng. Tính giá của mỗi chiếc bút và giá của mỗi quyển vở (biết giá của mỗi chiếc bút là như nhau và giá của mỗi quyển vở là như nhau).

b) Tháng 1 năm 2025, tập đoàn ô tô $X$ sản xuất được 100 xe ô tô. Nhận thấy nhu cầu thị trường tăng lên, tháng 2 tập đoàn đã tăng số lượng sản xuất ô tô lên $x\%$ so với tháng 1. Tháng 3, tập đoàn tiếp tục tăng số lượng sản xuất ô tô lên $2x\%$ so với tháng 2 . Biết số lượng ô tô sản xuất trong tháng 3 là 132 xe. Tính $x$.

c) Cho phương trình $x^{2} - 3x + 1 = 0$ có hai nghiệm dương $x_{1},x_{2}$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{\left| {7x_{2} - 3x_{1}^{2}} \right|}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1}x_{2}}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:795134

Phương pháp giải

a) Gọi $x,y$ (nghìn đồng) lần lượt là giá 1 cái bút và 1 quyển vở $\left( {x,y > 0} \right)$.

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.

Lập và giải hệ phương trình.

b) Tháng 2, tập đoàn đã tăng số lượng sản xuất ô tô lên $x\%$ so với tháng 1, nên số lượng xe sản xuất ở tháng 2 là: $100 + 100.x\%$(xe)

Tháng 3, tập đoàn tiếp tục tăng số lượng sản xuất ô tô lên $2x\%$ so với tháng 2, nên số lượng xe xản xuất ở tháng 3 là: $100 + x + \left( {100 + x} \right).2x\%$

Biết số lượng ô tô sản xuất trong tháng 3 là 132 xe, nên ta có: $100 + 3x + \dfrac{2x^{2}}{100} = 132$

c) Áp dụng định lí Viète.

Đặt $A = 7x_{2} - 3x_{1}^{2}$; $B = 7x_{1} - 3x_{2}^{2}$

Ta có: $A + B = 7\left( {x_{2} + x_{1}} \right) - 3\left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right) = 7.3 - 3.7 = 0$.

Nên $A = - B$suy ra $\left| A \middle| = |B| \right.$

Giải chi tiết

a) Gọi $x,y$ (nghìn đồng) lần lượt là giá 1 cái bút và 1 quyển vở $\left( {x,y > 0} \right)$.

Nam mua 10 cái bút và 15 quyển vở hết 200 nghìn đồng nên ta có: $10x + 15y = 200$ (1)

Hùng mua 7 cái bút và 14 quyển vở hết 175 nghìn đồng nên ta có: $7x + 14y = 175$(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {10x + 15y = 200} \\ {7x + 14y = 175} \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {2x + 3y = 40} \\ {x + 2y = 25} \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {2x + 3y = 40} \\ {2x + 4y = 50} \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {y = 10} \\ {x + 2y = 25} \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {x = 5} \\ {y = 10} \end{array} \right.$(tmđk)

Vậy giá một chiếc bút là 5 nghìn đồng, một quyển vở là 10 nghìn đồng.

b) Tháng 2, tập đoàn đã tăng số lượng sản xuất ô tô lên $x\%$ so với tháng 1, nên số lượng xe sản xuất ở tháng 2 là: $100 + 100.x\% = 100 + 100.\dfrac{x}{100} = 100 + x$(xe)

Tháng 3, tập đoàn tiếp tục tăng số lượng sản xuất ô tô lên $2x\%$ so với tháng 2, nên số lượng xe xản xuất ở tháng 3 là:

$100 + x + \left( {100 + x} \right).2x\%$

$= 100 + x + \left( {100 + x} \right).\dfrac{2x}{100}$

$= 100 + x + 2x + \dfrac{2x^{2}}{100}$

$= 100 + 3x + \dfrac{2x^{2}}{100}$

Biết số lượng ô tô sản xuất trong tháng 3 là 132 xe, nên ta có:

$100 + 3x + \dfrac{2x^{2}}{100} = 132$

$100 + 3x + \dfrac{2x^{2}}{100} - 132 = 0$

$\dfrac{2x^{2}}{100} + 3x - 32 = 0$

$2x^{2} + 300x - 3200 = 0$

Giải phương trình ta được $x = 10\left( {tm} \right)$ và $x = - 160\left( {ktm} \right)$

Vậy $x = 10$.

c) Ta có: $\Delta = \left( {- 3} \right)^{2} - 4.1.1 = 9 - 4 = 5 > 0$

Áp dụng định lí Viète ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} = 3} \\ {x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} = 1} \end{array} \right.$

Khi đó ta có: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{1}x_{2} = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - x_{1}x_{2} = 3^{2} - 1 = 8$.

Đặt $A = 7x_{2} - 3x_{1}^{2}$; $B = 7x_{1} - 3x_{2}^{2}$

Ta có: $A + B = 7\left( {x_{2} + x_{1}} \right) - 3\left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right) = 7.3 - 3.7 = 0$.

Nên $A = - B$suy ra $\left| A \middle| = |B| \right.$

Suy ra: $A^{2} = \left| {A.B} \right| = \left| {\left( {7x_{2} - 3x_{1}^{2}} \right)\left( {7x_{1} - 3x_{2}^{2}} \right)} \right| = \left| {49x_{1}x_{2} - 21\left( {x_{1}^{3} + x_{2}^{3}} \right) + 9x_{1}^{2}x_{2}^{2}} \right|$

$\begin{array}{l} {= \left| {49 + 9 - 21\left( {x_{1} + x_{2}} \right)(x_{1}^{2} - x_{1}x_{2} + x_{2}^{2})} \right|} \\ {= \left| {58 - 21.3\left\lbrack {{(x_{1} + x_{2})}^{2} - 3x_{1}x_{2}} \right\rbrack} \right| = \left| {58 - 63\left\lbrack {3^{2} - 3.1} \right\rbrack} \right| = 320} \end{array}$

Do đó:$\left| A \middle| = 8\sqrt{5} \right.$.

Vậy $P = \dfrac{8\sqrt{5}}{8} = \sqrt{5}.$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link