Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 10,\, AB = 6$ và $AC = 8$; $M$ là trung điểm của $BC$ và $AMND$

Câu hỏi số 795139:

Thông hiểu

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $BC = 10,\, AB = 6$ và $AC = 8$; $M$ là trung điểm của $BC$ và $AMND$ là hình vuông sao cho cạnh $MN$ cắt cạnh $AC$ tại điểm $F$.

a) Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.

b) Chứng minh tứ giác $ABCN$ nội tiếp được đường tròn.

c) Tính diện tích tứ giác$AFND$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:795139

Phương pháp giải

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Từ đó xác định tâm và bán kính.

b) Chứng minh $A,\,\, B,\,\, C,\,\, N$ cùng thuộc đường tròn $(M)$

Vậy tứ giác $ABCN$ nội tiếp được đường tròn

c) $S_{AFND} = S_{AMND} - S_{AMF}$

Giải chi tiết

a) Ta có: $BC^{2} = 10^{2} = 6^{2} + 8^{2} = AB^{2} + AC^{2}$

Do đó tam giác $ABC$ vuông tại $A$ (theo định lí Pythagore đảo)

Suy ra $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

Mà $M$ là trung điểm của $BC$ nên $M$là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

Bán kính của đường tròn đó là $R = \dfrac{BC}{2} = 5$

b) Vì $AMND$ là hình vuông nên $MN = MA$

mà $MA = MB = MC$ nên $MN = MA = MB = MC$

Do đó $A,\,\, B,\,\, C,\,\, N$ cùng thuộc đường tròn $(M)$

Vậy tứ giác $ABCN$ nội tiếp được đường tròn

c) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $\tan\angle ACB = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4}$

mà $\angle MAC = \angle MCA$ (do $\Delta MAC$ cân tại $M$) nên

$\left. \tan\angle MAF = \dfrac{MF}{MA} = \tan\angle ACB\Rightarrow\dfrac{MF}{5} = \dfrac{3}{4}\Rightarrow MF = \dfrac{15}{4} \right.$

Ta có:

$\begin{array}{l} {S_{AMF} = \dfrac{1}{2}AM.MF = \dfrac{1}{2}.5.\dfrac{15}{4} = \dfrac{75}{8}} \\ {S_{AMND} = AM^{2} = 5^{2} = 25} \end{array}$

Do đó $S_{AFND} = S_{AMND} - S_{AMF} = 25 - \dfrac{75}{8} = \dfrac{125}{8}$

Vậy $S_{AFND} = \dfrac{125}{8}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link