Cho phương trình $x^{2} - (2m + 1)x + 4m - 2 = 0$ (với $m$ là tham số).a) Giải phương trình đã cho khi

Câu hỏi số 795475:

Thông hiểu

Cho phương trình $x^{2} - (2m + 1)x + 4m - 2 = 0$ (với $m$ là tham số).

a) Giải phương trình đã cho khi $m = 2$.

b) Tìm $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ sao cho biểu thức $T = \left( {1 + x_{1}^{2}} \right)\left( {1 + x_{2}^{2}} \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:795475

Phương pháp giải

a) Thay $m = 2$ vào phương trình rồi giải phương trình bậc hai một ẩn.

b) Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, sau đó áp dụng định lý Viète tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T.

Giải chi tiết

a) Thay $m = 2$ vào phương trình ta có: $x^{2} - (2.2 + 1)x + 4.2 - 2 = 0$

$x^{2} - 5x + 6 = 0$

Ta có: $\Delta = \left( {- 5} \right)^{2} + 4.1.6 = 25 - 24 = 1 > 0$ nên phương trình có hai nghiệm:

$x_{1} = \dfrac{5 - \sqrt{1}}{2.1} = 2$; $x_{2} = \dfrac{5 + \sqrt{1}}{2.1} = 3$

Vậy với $m = 2$ phương trình có hai nghiệm phân biệt $x = 2$ và $x = 3$

b) Phương trình $x^{2} - (2m + 1)x + 4m - 2 = 0$ có:

$\Delta = \left\lbrack {- \left( {2m + 1} \right)} \right\rbrack^{2} - 4.1.\left( {4m - 2} \right) = 4m^{2} + 4m + 1 - \left( {16m - 8} \right)$

$= 4m^{2} + 4m + 1 - 16m + 8 = 4m^{2} - 12m + 9$

$= \left( {2m - 3} \right)^{2} \geq 0$

Để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thì $\Delta > 0$ hay $2m - 3 \neq 0$

Suy ra $m \neq \dfrac{3}{2}$

Áp dụng định lí viète ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a} = 2m + 1} \\ {x_{1}.x_{2} = \dfrac{c}{a} = 4m - 2} \end{array} \right.\,\,(I)$

Ta có:

$T = \left( {1 + x_{1}^{2}} \right)\left( {1 + x_{2}^{2}} \right) = 1 + x_{2}^{2} + x_{1}^{2} + x_{1}^{2}x_{2}^{2}$

$\,\,\,\,\, = 1 + \left( {x_{2}^{2} + 2x_{1}x_{2} + x_{1}^{2}} \right) + x_{1}^{2}x_{2}^{2} - 2x_{1}x_{2}$

$\,\,\,\,\, = 1 + \left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} + x_{1}^{2}x_{2}^{2} - 2x_{1}x_{2}$

Thay $(I)$ vào $T$ ta có: $T = 1 + \left( {2m + 1} \right)^{2} + \left( {4m - 2} \right)^{2} - 2\left( {4m - 2} \right)$

$T = 1 + 4m^{2} + 4m + 1 + 16m^{2} - 16m + 4 - 8m + 4$

$T = 20m^{2} - 20m + 10$

$T = 20\left( {m^{2} - m + \dfrac{1}{2}} \right)$

$T = 20\left( {m^{2} - 2m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}} \right)$

$T = 20\left( {\left( {m - \dfrac{1}{2}} \right)^{2} + \dfrac{1}{4}} \right) \geq 5$

Vậy giá trị nhỏ nhất $T = 5$ khi $m - \dfrac{1}{2} = 0$ hay $m = \dfrac{1}{2}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link