Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O),AB < AC$. Kẻ AH vuông góc với BC tại
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O),AB < AC$. Kẻ AH vuông góc với BC tại H và đường kính AD của đường tròn (O). Kẻ CE vuông góc với AD tại E. Gọi M là trung điểm của AC.
a) Chứng minh tứ giác AHEC nội tiếp.
b) Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh $\angle CIE = \angle COE$ và tam giác HIE cân tại I.
c) Trong trường hợp $BA < BD$, trên đoạn thẳng HM lấy điểm P sao cho $\angle APB = 90^{{^\circ}}$Chứng minh ba điểm O, P, B thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Chứng minh A, H, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC hay tứ giác AHEC nội tiếp.
b) Chứng minh O, I, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính OC nên $\angle CIE = \angle COE$ (cùng chắn cung EC)
Do AHEC nội tiếp nên $\angle CHE = \angle CAE$ (cùng chắn EC)
Mà $\angle CIE = \angle COE = 2\angle CAE$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)
Nên $\angle CIE = 2\angle CHE$
Từ đó chứng minh $\angle CHE = \angle IEH$
Vậy $\Delta HIE$ cân tại I
c) Cách 1:
Chứng minh $\Delta APF \backsim \Delta MOF(g.g)$
Suy ra $\dfrac{AF}{MF} = \dfrac{PF}{OF}$
Mà $\angle AFM = \angle PFO$ (2 góc đổi đỉnh) nên $\Delta AFM \backsim \Delta PFO$ (c.g.c)
Do đó $\angle OPF = \angle OAM$
Từ đó chứng minh $\angle OPF + \angle BPM = 180^{0}$
Do đó B, P, O thẳng hàng.
Cách 2:
Kẻ $AP'\bot OB$ tại $P'$. Ta đi chứng minh $P \equiv P'$
Chứng minh A, P’, O, M cùng thuộc đường tròn đường kính AO
Khi đó $\angle MP'O = \angle MAO$ (cùng chắn cung OM)
Tương tự A, P’, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB
Suy ra $\angle HP'B = \angle HAB$ (cùng chắn cung HB)
Mà $\angle MP'O + MP'B = 180^{0}$ nên $\angle HP'B + \angle MP'B = 180^{0}$ hay M, P’, H thẳng hàng
Suy ra $P \equiv P'$.
a) $CE\bot AD$ tại E nên $\Delta ACE$ vuông tại E. Suy ra A, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC
$AH\bot BC$ nên $\Delta AHC$ vuông tại H nên A, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC
Suy ra A, H, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC hay tứ giác AHEC nội tiếp.
b) Do I là trung điểm của BC nên $\Delta OBC$ cân tại O có trung tuyến OI đồng thời là đường cao
suy ra $OI\bot BC$ tại I nên $\Delta OIC$ vuông tại I hay O, I, C cùng thuộc đường tròn đường kính OC
ta có $\Delta OEC$ vuông tại E nên O, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính OC
Vậy O, I, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính OC nên $\angle CIE = \angle COE$ (cùng chắn cung EC)
Do AHEC nội tiếp nên $\angle CHE = \angle CAE$ (cùng chắn EC)
Mà $\angle CIE = \angle COE = 2\angle CAE$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)
Nên $\angle CIE = 2\angle CHE$
Mặt khác $\angle CIE = \angle CHE + \angle IEH$ (do cùng cộng $\angle HIE$ bằng 1800)
Suy ra $2\angle CHE = \angle CHE + \angle IEH$ suy ra $\angle CHE = \angle IEH$
Vậy $\Delta HIE$ cân tại I
c) Cách 1:
Ta có: $\angle AOC = 2\angle ABC,\angle AOC = 2\angle AOM$ nên $\angle ABH = \angle AOM$
Mà $\angle ABH + \angle APH = 180^{0},\angle APM + \angle APH = 180^{0}$ nên $\angle AOM = \angle APM$
Gọi F là giao của AO và PM
Xét $\Delta APF$ và $\Delta MOF$ có $\angle APF = \angle FOM;\angle AFP = \angle MFO$ (2 góc đối đỉnh)
Do đó $\Delta APF \backsim \Delta MOF(g.g)$
Suy ra $\dfrac{AF}{MF} = \dfrac{PF}{OF}$
Mà $\angle AFM = \angle PFO$ (2 góc đổi đỉnh) nên $\Delta AFM \backsim \Delta PFO$ (c.g.c)
Do đó $\angle OPF = \angle OAM$
Mà $\angle OAM = \angle BAH = \angle BPH$ nên $\angle OPF = \angle BPH$
Mà $\angle BPH + \angle BPM = 180^{0}$ nên $\angle OPF + \angle BPM = 180^{0}$
Do đó B, P, O thẳng hàng.
Cách 2:
Do M là trung điểm của AC nên $\Delta AOC$ cân tại O có OM là trung tuyến nên đồng thời là đường cao
Khi đó $\Delta AOM$ vuông tại M nên $OM\bot AC$
Kẻ $AP'\bot OB$ tại $P'$. Ta đi chứng minh $P \equiv P'$
Ta có $\Delta AMO$ vuông tại M và $\Delta AOP'$ vuông tại $P'$
Suy ra A, P’, O, M cùng thuộc đường tròn đường kính AO
Khi đó $\angle MP'O = \angle MAO$ (cùng chắn cung OM)
Tương tự $\Delta AP'B$ vuông tại P’ và $\Delta AHB$ vuông tại H nên A, P’, H, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB
Suy ra $\angle HP'B = \angle HAB$ (cùng chắn cung HB)
Mà $\angle MP'O + MP'B = 180^{0}$ nên $\angle HP'B + \angle MP'B = 180^{0}$ hay M, P’, H thẳng hàng
Suy ra $P \equiv P'$. Chứng tỏ O, P, B thẳng hàng.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
