Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ điểm P nằm ngoai đường tròn (O) và cách O một khoảng OP

Câu hỏi số 795994:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ điểm P nằm ngoai đường tròn (O) và cách O một khoảng OP = 2R, vẽ các tiếp tuyến PA, PB của (O) với A, B là các tiếp điểm.

a) Chứng minh 4 điểm O, A, P, B cùng nằm trên một đường tròn.

b) Kẻ đường kính AC của (O). Tia PC cắt (O) tại điểm E và cắt đường thẳng AB tại điểm D. Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng AB và OP. Chứng minh đường thẳng OP vuông góc với đường thẳng AB và $DA \cdot DB = DC \cdot DE$.

c) Tính diện tích tam giác APD theo R.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:795994

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta APO$ vuông tại $A$ và $\Delta BPO$ vuông tại $B$

Vậy 4 điểm $O,\,\, A,\,\, P,\,\, B$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) Chứng minh $\Delta DAE \backsim \Delta DCB\,\,\left( {g.g} \right)$

Suy ra $\dfrac{DA}{DC} = \dfrac{DE}{DB}$ hay $DA.DB = DC.DE$

c) Chứng minh $\Delta OBC$ đều suy ra $BC = R$

Và $AP = \sqrt{OP^{2} - AO^{2}}$

Ta có $\Delta AOH \sim \Delta POA\left( {g.g} \right)$ nên suy ra $OA^{2} = OH.OP$ suy ra $OH = \dfrac{OA^{2}}{OP}$ và $PH = OP - OH$

Suy ra $AH = \sqrt{OA^{2} - OH^{2}}$

Tính được $AD = AH + HD$

Suy ra $S_{\Delta APD} = S_{\Delta APC} - S_{\Delta ADC} = \dfrac{1}{2}AP.AC - \dfrac{1}{2}BC.AD$

Giải chi tiết

a) Ta có: $\Delta APO$ vuông tại $A$ (do $PA$ là tiếp tuyến của $(O)$)

Do đó $A,\,\, P,\,\, O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $PO$ (1)

$\Delta BPO$ vuông tại $B$ (do $PB$ là tiếp tuyến của $(O)$)

Do đó $B,\,\, P,\,\, O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $PO$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra $A,\,\, P,\,\, B,\,\, O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $PO$

Vậy 4 điểm $O,\,\, A,\,\, P,\,\, B$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) Vì $PA,\,\, PB$ là các tiếp tuyến của $(O)$ nên $PA = PB$

Do đó $P$ thuộc đường trung trực của $AB$

mà $O$ thuộc đường trung trực của $AB$ (do $OA = OB$)

Suy ra $PO$ là đường trung trực của $AB$

Do đó $PO\bot AB$ tại H

Xét $\Delta DAE$ và $\Delta DCB$ có:

$\angle ADE = \angle BDC$ (2 góc đối đỉnh)

$\angle DAE = \angle DCB$ (cùng chắn cung $BE$)

Do đó $\Delta DAE \backsim \Delta DCB\,\,\left( {g.g} \right)$

Suy ra $\dfrac{DA}{DC} = \dfrac{DE}{DB}$ hay $DA.DB = DC.DE$

c) Ta có $\angle AEC = \angle ABC = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $AE\bot PC$ và $AB\bot BC$

Xét $\Delta APO$ vuông tại A có $\cos\angle AOP = \dfrac{AO}{PO} = \dfrac{R}{2R} = \dfrac{1}{2}$ nên $\angle AOP = 60^{0}$

Suy ra $\angle AOP = \angle POB = 60^{0}$.

Suy ra $\angle COB = 180^{0} - 60^{0} - 60^{0} = 60^{0}$ hay $\Delta OBC$ đều

Suy ra $BC = R$

Và $AP = \sqrt{OP^{2} - AO^{2}} = \sqrt{4R^{2} - R^{2}} = R\sqrt{3}$

Ta có $\Delta AOH \sim \Delta POA\left( {g.g} \right)$ nên suy ra $OA^{2} = OH.OP$ suy ra $OH = \dfrac{OA^{2}}{OP} = \dfrac{R^{2}}{2R} = \dfrac{R}{2}$ và $PH = OP - OH = R - \dfrac{1}{2}R = \dfrac{3}{2}R$

Suy ra $AH = \sqrt{OA^{2} - OH^{2}} = \sqrt{R^{2} - \left( \dfrac{R}{2} \right)^{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}R$

Ta có $AB\bot BC;OP\bot AB$ nên $OP \parallel BC$. Khi đó $\dfrac{BC}{HP} = \dfrac{BD}{HD} = \dfrac{R}{\dfrac{3}{2}R} = \dfrac{2}{3}$

Suy ra $HD = 2BD$. Mà $HD + BD = HB = HA = \dfrac{\sqrt{3}}{2}R$ nên $HD = \dfrac{3}{5}HB = \dfrac{3\sqrt{3}}{10}R$

Suy ra $AD = AH + HD = \dfrac{\sqrt{3}}{2}R + \dfrac{3\sqrt{3}}{10}R = \dfrac{4\sqrt{3}}{5}R$

Suy ra $S_{\Delta APD} = S_{\Delta APC} - S_{\Delta ADC} = \dfrac{1}{2}AP.AC - \dfrac{1}{2}BC.AD = \dfrac{1}{2}.R\sqrt{3}.2R - \dfrac{1}{2}.R.\dfrac{4\sqrt{3}}{5}R = \dfrac{3\sqrt{3}}{5}R^{2}$

Vậy $S_{\Delta APD} = \dfrac{3\sqrt{3}}{5}R^{2}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link