Cho tam giác nhọn $ABC(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn (O) và có các đường cao AD, BE, CF cắt
Cho tam giác nhọn $ABC(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn (O) và có các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H.
1. Chứng minh tứ giác BFEC nội tiểp.
2. Vẽ đường kính AT của đường tròn (O). Chứng minh $\Delta ADB$ đồng đạng với $\Delta ACT$ và $2\angle HEF + \angle AOC = 180^{{^\circ}}.$
3. Vẽ CI vuông góc với AT tại I. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm F, M, I thẳng hàng.
Quảng cáo
1. $\Delta BEC$ vuông tại E và $\Delta BFC$ vuông tại F nên $\text{B},\text{C},\text{E},\text{F}$ cùng thuộc đường tròn đường kính BC
2. Từ $\left. \Delta ABD \right.\sim\Delta ATC(~\text{g} \cdot ~\text{g})$ và tứ giác AFHE nội tiếp suy ra $\angle HEF = \angle CAO$
Sau đó áp dụng tính chất tổng ba góc cho $\Delta OAC$ cân tại O.
3. Chứng minh $\angle CMI = \angle FMB = 2\angle DAB$ từ đó suy ra $\angle CMI + \angle FMC = 180{^\circ}$
1. Do BE, CF là đường cao nên $\Delta BEC$ vuông tại E và $\Delta BFC$ vuông tại F
$\Delta BEC$ vuông tại E nên B, E, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
$\Delta BFC$ vuông tại F nên B, F, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC
Suy ra B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay BFEC nội tiếp đường tròn.
2. Ta có $\angle ACT = \angle ABT = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Suy ra $\angle ADB = \angle ACT\left( {= 90^{0}} \right)$
Lại có $\angle ABD = \angle ATC$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
Suy ra $\Delta ABD \sim \Delta ATC\left( {g.g} \right)$
Ta có $\Delta AFH$ vuông tại F và $\Delta AEH$ vuông tại E nên A, F, H, E cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Suy ra $\angle HEF = \angle HAF$ (góc nội tiếp cùng chắn cung HF)
Mà $\angle HAD = \angle CAO$ (do $\Delta ABD \sim \Delta ATC\left( {g.g} \right)$) nên $\angle HEF = \angle CAO$
Ta có $OC = OA$ nên $\Delta OAC$ cân tại O
Suy ra $\angle CAO = \angle ACO$
Mà $\angle AOC + \angle OCA + \angle CAO = 180^{0}$
Nên $\angle AOC + 2\angle CAO = 180^{0}$ suy ra $\angle AOC + 2\angle HEF = 180^{0}$ (đpcm)
3. Ta có $OB = OC$ (cùng bằng bán kính) nên $\Delta OBC$ cân tại O
$\Delta OBC$ có OM là trung tuyến nên OM đồng thời là đường cao. Suy ra $OM\bot BC$ tại M
Do $\Delta OMC$ vuông tại M và $\Delta OCI$ vuông tại I nên O, M, C, I cùng thuộc đường tròn đường kính OC
Suy ra $\angle CMI = \angle COI$ (cùng chắn cung CI)
Mà $\angle COI = 2\angle CAT$ (cùng chắn cung CT) nên $\angle CMI = 2\angle DAB$ (1)
Ta có $\Delta BCF$ vuông tại F, trung tuyến FM nên $\Delta MEF$ cân tại M
Suy ra $\angle FMB = 180^{0} - 2\angle MBF = 2\left( {90^{0} - \angle MBF} \right) = 2.\angle DAB$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\angle CMI = \angle FMB$
Mà $\angle FMB + \angle FMC = 180^{0}$ nên $\angle CMI + \angle FMC = 180^{0}$ hay F, M, I thẳng hàng.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
