Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài (O). Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A,
Cho đường tròn (O; R) và điểm M nằm ngoài (O). Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là hai tiếp điểm). Xét điểm D thuộc cung lớn AB (D không nằm chính giữa cung AB), đường thẳng MD cắt (O) tại điểm C. Gọi E là trung điểm của dây CD, tia BE cắt đường tròn (O) tại điểm F.
1) Chứng minh bốn điểm M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh hai tam giác EBC và EDF đồng dạng.
3) Chứng minh EM là tia phân giác của $\angle AEB.$
4) Khi D thay đổi trên cung lớn AB, tìm vị trí của D để diện tích tam giác MDF lớn nhất.
Quảng cáo
1) Chứng minh $\Delta MAO$ vuông tại A và $\Delta MBO$ vuông tại B
Suy ra M, A, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
2) Xét $\Delta EBC$ và $\Delta EDF$ có
$\angle BEC = \angle DEF$ (hai góc đối đỉnh)
$\angle BCE = \angle DFE$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
Suy ra $\Delta EBC \sim \Delta EDF\left( {g.g} \right)$
3) Chứng minh M, A, B, O, E cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
Khi đó $\angle AEM = \angle ABM$ (cùng chắn cung AM) và $\angle BEM = \angle BAM$ (cùng chắn cung BM)
Chứng minh $\angle ABM = \angle BAM$
Suy ra $\angle AEM = \angle BEM$ hay EM là phân giác của góc AEB
4) Chứng minh $AF \parallel MD$
Kẻ $DH\bot MA$ tại H
Khi đó $S_{MFD} = S_{MAD} = \dfrac{1}{2}AM.DH$
Do AM cố định nên $S_{MFD}$ lớn nhất khi DH lớn nhất.
Ta có $\Delta DHA$ vuông tại H nên $DH \leq DA \leq 2R$ nên DH lớn nhất khi D, O, A thẳng hàng
1) Do MA, MB là tiếp tuyến nên $\angle MAO = \angle MBO = 90^{0}$
Khi đó $\Delta MAO$ vuông tại A nên M, A, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM
$\Delta MBO$ vuông tại B nên M, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM
Suy ra M, A, B, O cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
2) Xét $\Delta EBC$ và $\Delta EDF$ có
$\angle BEC = \angle DEF$ (hai góc đối đỉnh)
$\angle BCE = \angle DFE$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BD)
Suy ra $\Delta EBC \sim \Delta EDF\left( {g.g} \right)$
3) Ta có $OC = OD$ nên $\Delta ODC$ cân tại O có trung tuyến OE nên OE đồng thời là đường cao
Suy ra $OE\bot DC$ tại E hay $\Delta OEM$ vuông tại E
Suy ra E thuộc đường tròn đường kính OM
Vậy M, A, B, O, E cùng thuộc đường tròn đường kính OM.
Khi đó $\angle AEM = \angle ABM$ (cùng chắn cung AM) và $\angle BEM = \angle BAM$ (cùng chắn cung BM)
Mà $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) nên $\Delta MAB$ cân tại M suy ra $\angle ABM = \angle BAM$
Suy ra $\angle AEM = \angle BEM$ hay EM là phân giác của góc AEB
4) Ta có $\angle AFB = \dfrac{1}{2}\angle AOB$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung AB)
$\dfrac{1}{2}\angle AOB = \angle MOB$ (OM là phân giác của góc AOB – tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
$\angle MOB = \angle MEB$ (cùng chắn cung MB)
Suy ra $\angle AFB = \angle MEB$ suy ra $AF \parallel MD$
Kẻ $DH\bot MA$ tại H
Khi đó $S_{MFD} = S_{MAD} = \dfrac{1}{2}AM.DH$
Do AM cố định nên $S_{MFD}$ lớn nhất khi DH lớn nhất.
Ta có $\Delta DHA$ vuông tại H nên $DH \leq DA \leq 2R$ nên DH lớn nhất khi D, O, A thẳng hàng
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
