Người ta cần thiết kế đoạn một cây cầu cong nối giữa hai điểm $A$ và $B$ trên hai bờ sông

Câu hỏi số 797787:

Vận dụng

Người ta cần thiết kế đoạn một cây cầu cong nối giữa hai điểm $A$ và $B$ trên hai bờ sông sao cho cây cầu này có hình dạng thẩm mỹ và ổn định. Để mô phỏng hình dáng của cây cầu, người ta sử dụng một hàm bậc ba. Trong hệ tọa độ $Oxy$ (đơn vị: feet). Bằng cách đo đạc tại thực địa, ta xác định được đường cong của cây cầu đi qua hai điểm có tọa độ lần lượt là $A\left( {- 1200;80} \right);B\left( {1200;60} \right)$ và điểm giữa cây cầu (tại $x = 0$) có độ cao là 200 feet. Tiếp tuyến tại điểm giữa cây cầu (tại $x = 0$) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -1000 feet (Hình vẽ). Tính tổng chi phí xây dựng cây cầu dựa trên diện tích bề mặt của cây cầu (Đơn vị: triệu USD), biết chi phí xây dựng là 100 USD cho mỗi feet vuông của mặt cầu (Diện tích bề mặt của cây cầu được xác định là diện tích của phần hình phẳng được giới hạn bởi đô thị của hàm số $y = f(x)$, trục hoành và các đường thẳng $x = - 1200;x = 1200$)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:797787

Phương pháp giải

Gọi hàm số $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\left( {a \neq 0} \right)$ đi qua $A\left( {- 1200;80} \right),B\left( {1200;60} \right)$ và $f'(0) = 0,2$ tìm hệ số $a,b,c$. Từ đó tính diện tích bằng tích phân.

Giải chi tiết

Gọi $y = f(x) = ax^{3} + bx^{2} + cx + d\left( {a \neq 0} \right)$ là hàm số có đồ thị mô ta hình dáng cây cầu

Ta có $f'(x) = 3ax^{2} + bx + c$

Do đồ thị của hàm số đi qua các điểm $A\left( {- 1200;80} \right),B\left( {1200;60} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l} {f\left( {- 1200} \right) = 80} \\ {f(1200) = 60} \end{array}\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a{( - 1200)}^{3} + b{( - 1200)}^{2} + c\left( {- 1200} \right) + d = 80} \\ {a{(1200)}^{3} + b{(1200)}^{2} + c(1200) + d = 60} \end{array} \right. \right.$

Điểm giữa cây cầu (tại $x = 0$) có độ cao là 200 feet $\left. \Rightarrow f(0) = 200\Rightarrow d = 200 \right.$

Tiếp tuyến tại điểm giữa cây cầu (tại $x = 0$) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là -1000 feet

Suy ra $\left. y = f'(0)\left( {x - x_{0}} \right) + y_{0}\Rightarrow 0 = f'(0) \cdot \left( {- 1000} \right) + 200\Rightarrow f'(0) = 0,2 \right.$

Suy ra $\left. f'(0) = 0,2\Rightarrow c = 0,2 \right.$ nên $\left\{ \begin{array}{l} {a{( - 1200)}^{3} + b{( - 1200)}^{2} + 0,2 \cdot \left( {- 1200} \right) + 200 = 80} \\ {a{(1200)}^{3} + b{(1200)}^{2} + 0,2 \cdot (1200) + 200 = 60} \end{array} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} {- 1728000000a + 1440000b = 120} \\ {1728000000a + 1440000b = - 380} \end{matrix}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = - \dfrac{1}{6912000}} \\ {b = - \dfrac{13}{144000}} \end{array} \right. \right. \right.$

Vậy $y = f(x) = - \dfrac{1}{6912000}x^{3} - \dfrac{13}{144000}x^{2} + 0,2x + 200$

Diện tích bề mặt cây cầu là: $S = \int_{- 1200}^{1200}\left| {- \dfrac{1}{6912000}x^{3} - \dfrac{13}{144000}x^{2} + 0,2x + 200} \right|\text{d}x = 376000$ feet²

Chi phí cần để xây cầu là: $C = 376000 \cdot 100 = 37600000$ USD $= 37,6$ triệu USD.

Đáp án cần điền là: 37,6

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.