Một công ty xây dựng đang lên kế hoạch thiết kế một tòa nhà chọc trời trong khu đô thị

Câu hỏi số 797788:

Vận dụng

Một công ty xây dựng đang lên kế hoạch thiết kế một tòa nhà chọc trời trong khu đô thị mới. Để đảm bảo an toàn và sẵn sàng cho các tình huống khẩn cấp, công ty muốn thiết kế đường bay tối ưu cho trực thăng cứu hộ tiếp cận đỉnh tòa nhà. Giả sử tòa nhà được xây dựng với đỉnh tòa nhà $T\left( {40;60;150} \right)$ trong hệ tọa độ không gian $Oxyz$, với $O$ là gốc tọa độ nằm ở mặt đất. Trực thăng cứu hộ khởi hành từ sân bay tại điểm $X\left( {100; - 40;0} \right)$. Một người $A$ đứng trong tầng nào đó của tòa nhà có tọa độ là $A\left( {40;30; - 20} \right)$. Gọi phương trình đường thẳng $d$ mô tả đường bay tối ưu của trực thăng cứu hộ từ điểm $X$ đến đỉnh tòa nhà $T$ và $M\left( {a;b;c} \right)$ là điểm thuộc đường bay của trực thăng cứu hộ để khoảng cách từ $M$ đến $A$ ngắn nhất. Tính $a + b + c$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:797788

Phương pháp giải

Viết phương trình $d$ đi qua $X\left( {100; - 40;0} \right)$ và $T\left( {40;60;150} \right)$. Gọi M thuộc t và lập hàm số $f(t) = MA$. Từ đó khảo sát tìm GTNN

Giải chi tiết

Đường thẳng $d$ đi qua $X\left( {100; - 40;0} \right)$ và $T\left( {40;60;150} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương là:

$\overset{\rightarrow}{XT} = \left( {- 60;100;150} \right) = 10\left( {- 6;10;15} \right)$

Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 100 - 6t} \\ {y = - 40 + 10t} \\ {z = 15t} \end{array} \right.$

Vì $M\left( {a;b;c} \right) \in d$ nên tọa độ điểm $M\left( {100 - 6t; - 40 + 10t;15t} \right)$

Khi đó: $MA = \sqrt{\left( {x_{A} - x_{M}} \right)^{2} + \left( {y_{A} - y_{M}} \right)^{2} + \left( {z_{A} - z_{M}} \right)^{2}} = \sqrt{361t^{2} - 1520t + 8900}$

Để $MA_{\min}$ thì hàm số $f(t) = 361t^{2} - 1520t + 8900$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Hàm số $f(t)$ là một hàm bậc hai với hệ số của $t^{2}$ là $361 > 0$ và đồ thị hướng lên trên nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại $t = - \dfrac{b}{2a} = \dfrac{1520}{2.361} = \dfrac{760}{361}$.

Thay $t = \dfrac{760}{361}$ vào tọa độ điểm $M\left( {100 - 6t; - 40 + 10t;15t} \right)$ ta được $\left\{ \begin{array}{l} {a = \dfrac{1660}{19}} \\ {b = - \dfrac{360}{19}} \\ {c = \dfrac{600}{19}} \end{array} \right.$

Khi đó $a + b + c = \dfrac{1660}{19} + \left( {- \dfrac{360}{19}} \right) + \dfrac{600}{19} = 100$.

Đáp án cần điền là: 100

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.