Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, từ $A$ và $B$ vẽ hai tiếp tuyến

Câu hỏi số 798132:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn $(O)$ đường kính $AB$, từ $A$ và $B$ vẽ hai tiếp tuyến $Ax;By$ và cùng phía với nửa đường tròn $(O)$. Điểm $M$ thuộc nửa đường tròn $(M$ khác $A,B)$; $AM$ cắt $By$ tại $C;BM$ cắt $Ax$ tại $D$. Gọi $E$ là trung điểm của đoạn $AM$.
a) Chứng minh rằng tứ giác $OBCE$ nội tiếp.
b) Biết diện tích các tam giác $MAB;MBC;MCD$ lần lượt bằng $9\text{cm}^{2};27\text{cm}^{2}$; $9\text{cm}^{2}$. Tính diện tích tứ giác $ABCD$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798132

Phương pháp giải

a)Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^{\circ}$ nên tứ giác $OBCE$ nội tiếp.
b) Đặt $MA = x;MB = y;MC = z;MD = t(x;y;z;t$ dương$)$
Từ đó viết công thức tính diện tích các tam giác.

Giải chi tiết

a) Chứng minh rằng tứ giác $OBCE$ nội tiếp.
Tứ giác $OBCE$ có
$OB$ vuông góc $\left. BC\Rightarrow\angle OBC = 90^{\circ} \right.$
$OE$ vuông góc $AM$ (bán kính qua trung điểm của dây thì vuông góc với dây)
Tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^{\circ}$ nên tứ giác $OBCE$ nội tiếp.

b) Đặt $MA = x;MB = y;MC = z;MD = t(x;y;z;t$ dương$)$
Ta được $S_{MAB} = \dfrac{1}{2}xy = 9;S_{MBC} = \dfrac{1}{2}yz = 27;S_{MCD} = \dfrac{1}{2}zt = 9;S_{MAD} = \dfrac{1}{2}xt$
Khi đó $\left\{ \begin{array}{l} {xy = 18} \\ {yz = 54} \\ {zt = 18} \end{array} \right.$
Nhân phương trình thứ nhất và thứ ba ta được $xyzt = 324$
$\left. \Rightarrow xt.54 = 324\Leftrightarrow xt = 6\Rightarrow S_{MAD} = \dfrac{1}{2}zt = 3 \right.$

Diện tích hình thang $ABCD$ là

$S_{ABCD} = S_{MAB} + S_{MBC} + S_{MCD} + S_{MDA} = 9 + 27 + 9 + 3 = 48$

Vậy diện tích hình thang $ABCD$ là $S = 48\text{cm}^{2}$.
Cách khác
Tam giác vuông $ABD$ có AM là đường cao $\left. \Rightarrow MA^{2} = MB \cdot MD \right.$
Tam giác ABC vuông có MB là đường cao $\left. \Rightarrow MB^{2} = MA.MC \right.$.
Ta đươc $MA^{2} \cdot MB^{2} = MB \cdot MD \cdot MA \cdot MC = \left( {MA \cdot MD} \right) \cdot \left( {MB \cdot MC} \right)$

$\left. S_{MAB} = \dfrac{1}{2}MA \cdot MB = 9\Rightarrow MA^{2} \cdot MB^{2} = 18^{2}; \right.$

$\left. S_{MBC} = \dfrac{1}{2}MB \cdot MC = 27\Rightarrow MB \cdot MC = 54 \right.$

Thay vào ta được $18^{2} =$ MA. MD. $\left. 54\Leftrightarrow \right.$ MA. MD $\left. = 6\Rightarrow S_{\text{MAD~}} = 3 \right.$
Diện tích hình thang $ABCD$ là

$S_{ABCD} = S_{MAB} + S_{MBC} + S_{MCD} + S_{MDA} = 9 + 27 + 9 + 3 = 48$

Vậy diện tích hình thang $ABCD$ là $S = 48\text{cm}^{2}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link