a) Rút gọn biểu thức $A = \left( {\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{x} + 4} - 2} - \dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{x} + 4} + 2}}

Câu hỏi số 798139:

Vận dụng

a) Rút gọn biểu thức $A = \left( {\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{x} + 4} - 2} - \dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{x} + 4} + 2}} \right):\dfrac{1}{\sqrt{x}}$.
b) Cho phương trình $x^{2} - \left( {m - 1} \right)x - 2\left( {m + 1} \right) = 0$ (với $m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}x_{2} + x_{1}x_{2}^{2} = x_{1} + x_{2}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798139

Phương pháp giải

a) Quy đồng và rút gọn.

b) Áp dụng định lí Vi-ét.

Giải chi tiết

a) Điều kiện: $x > 0$. Với $x > 0$ ta có:

$~A = \left( {\dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{x} + 4} - 2} - \dfrac{1}{\sqrt{\sqrt{x} + 4} + 2}} \right):\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$~ = \left( \dfrac{\sqrt{\sqrt{x} + 4} + 2 - \left( {\sqrt{\sqrt{x} + 4} - 2} \right)}{\left( {\sqrt{\sqrt{x} + 4} - 2} \right)\left( {\sqrt{\sqrt{x} + 4} + 2} \right)} \right):\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$~ = \left( \dfrac{\sqrt{\sqrt{x} + 4} + 2 - \sqrt{\sqrt{x} + 4} + 2}{\sqrt{x} + 4 - 4} \right):\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

$~ = \dfrac{4}{\sqrt{x}}:\dfrac{1}{\sqrt{x}} = \dfrac{4}{\sqrt{x}} \cdot \sqrt{x} = 4$

Vậy với $x > 0$ thì $P = 4$.

b) Ta có phương trình: $x^{2} - \left( {m - 1} \right)x - 2\left( {m + 1} \right) = 0$ (với $m$ là tham số).

Để phương trình đã cho có nghiệm thì: $\text{Δ} \geq 0$

$\left. ~\Leftrightarrow{(m - 1)}^{2} + 8\left( {m + 1} \right) \geq 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow m^{2} + 6m + 9 \geq 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow{(m + 3)}^{2} \geq 0\ \right.$ (luôn đúng $\forall m$)

Theo định lí Vi-ét ta có: $\begin{cases} {x_{1} + x_{2}} & {= m - 1} \\ {x_{1}x_{2}} & {= - 2\left( {m + 1} \right)} \end{cases}$ (1)

Ta có: $\left. x_{1}^{2}x_{2} + x_{1}x_{2}^{2} = x_{1} + x_{2}\Leftrightarrow x_{1}x_{2}\left( {x_{1} + x_{2}} \right) = x_{1} + x_{2} \right.$ (2)

Thay (1) vào (2) ta được:

$~ - 2\left( {m + 1} \right)\left( {m - 1} \right) = m - 1$

$\left. ~\Leftrightarrow - 2\left( {m^{2} - 1} \right) = m - 1 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow 2m^{2} + m - 3 = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {m - 1} \right)\left( {2m + 3} \right) = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m = 1} \\ {m = - \dfrac{3}{2}} \end{array} \right. \right.$

Ta thấy các giá trị $m$ vừa tìm được thỏa mãn điều kiện.

Vậy $m = 1;m = - \dfrac{3}{2}$ là các giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link