a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho Parabol $(P)$ có phương trình $y = x^{2}$ và đường thẳng $(d)$

Câu hỏi số 798140:

Vận dụng

a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho Parabol $(P)$ có phương trình $y = x^{2}$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y = \left( {\sqrt{2} + 1} \right)x + \sqrt{2} + 2$. Tìm tọa độ giao điểm của Parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$.
b) Tìm tất cả nghiệm nguyên $\left( {x;y} \right)$ của phương trình $x^{2} - 4xy + 5y^{2} = 2\left( {x - y + 1} \right)$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798140

Phương pháp giải

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$.

b) Phương trình $\left. \Leftrightarrow x^{2} - 2\left( {2y + 1} \right)x + 5y^{2} + 2y - 2 = 0 \right.$

Tính $\Delta$ và biện luận.

Giải chi tiết

a) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:

$\left. x^{2} = \left( {\sqrt{2} + 1} \right)x + \sqrt{2} + 2\Leftrightarrow x^{2} - \left( {\sqrt{2} + 1} \right)x - \sqrt{2} - 2 = 0 \right.$

Ta có: $a - b + c = 1 + \left( {\sqrt{2} + 1} \right) - \sqrt{2} - 2 = 0$ nên phương trình đã cho có nghiệm là: $\left\lbrack \begin{array}{ll} x & {= - 1} \\ x & {= 2 + \sqrt{2}} \end{array} \right.$

+) Với $x = - 1$ thay vào $(P)$ ta được: $\left. y = 1.\Rightarrow A\left( {- 1;1} \right) \right.$

+) Với $x = 2 + \sqrt{2}$ thay vào $(P)$ ta được: $\left. y = 6 + 4\sqrt{2}.\Rightarrow B\left( {2 + \sqrt{2};6 + 4\sqrt{2}} \right) \right.$

Vậy tọa độ giao điểm của Parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ là: $A\left( {- 1;1} \right)$ và $B\left( {2 + \sqrt{2};6 + 4\sqrt{2}} \right)$.
b) Ta có phương trình:

$x^{2} - 4xy + 5y^{2} = 2\left( {x - y + 1} \right)$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} - 4xy + 5y^{2} - 2x + 2y - 2 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} - 2\left( {2y + 1} \right)x + 5y^{2} + 2y - 2 = 0 \right.$ (*)

Ta có phương trình $\left( \text{*} \right)$ là phương trình bậc 2 theo ẩn $x$. Ta có:

$= {(2y + 1)}^{2} - \left( {5y^{2} + 2y - 2} \right) = - y^{2} + 2y + 3$

Để phương trình (*) có nghiệm thì $\left. ~ \geq 0\Leftrightarrow - y^{2} + 2y + 3 \geq 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow - {(y - 1)}^{2} + 4 \geq 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow{(y - 1)}^{2} \leq 4 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left| {y - 1} \right| \leq 2 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow - 2 \leq y - 1 \leq 2 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow - 1 \leq y \leq 3 \right.$

Mà $y \in {\mathbb{Z}}$ nên $y \in \left\{ {- 1;0;1;2;3} \right\}$

+) Với $y = - 1$ thay vào $\left( \text{*} \right)$ ta được: $\left. x^{2} + 2x + 1 = 0\Leftrightarrow x = - 1 \right.$. (chọn)

+) Với $y = 0$ thay vào $\left( \text{*} \right)$ ta được: $\left. x^{2} - 2x - 2 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 1 + \sqrt{3}} \\ {x = 1 - \sqrt{3}} \end{array} \right. \right.$ (loại, vì $x \notin {\mathbb{Z}}$)

+) Với $y = 1$ thay vào $\left( \text{*} \right)$ ta được: $\left. x^{2} - 6x + 5 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{lll} x & = & 1 \\ x & = & 5 \end{array} \right. \right.$ (chọn)

+) Với $y = 2$ thay vào $\left( \text{*} \right)$ ta được: $\left. x^{2} - 10x + 22 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{ll} x & {= 5 + \sqrt{3}} \\ x & {= 5 - \sqrt{3}} \end{array} \right. \right.$ (loại, vì $x \notin {\mathbb{Z}}$ )

+) Với $y = 3$ thay vào $\left( \text{*} \right)$ ta được: $\left. x^{2} - 14x + 49 = 0\Leftrightarrow x = 7 \right.$ (chọn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right);\left( {5;1} \right);\left( {- 1; - 1} \right);\left( {7;3} \right)$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link