a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho Parabol $(P)$ có phương trình $y = x^{2}$ và đường thẳng $(d)$

Câu hỏi số 798140:

Vận dụng

a) Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho Parabol $(P)$ có phương trình $y = x^{2}$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y = \left( {\sqrt{2} + 1} \right)x + \sqrt{2} + 2$. Tìm tọa độ giao điểm của Parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$.
b) Tìm tất cả nghiệm nguyên $\left( {x;y} \right)$ của phương trình $x^{2} - 4xy + 5y^{2} = 2\left( {x - y + 1} \right)$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798140

Phương pháp giải

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$.

b) Phương trình $\left. \Leftrightarrow x^{2} - 2\left( {2y + 1} \right)x + 5y^{2} + 2y - 2 = 0 \right.$

Tính $\Delta$ và biện luận.

Giải chi tiết

a) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:

$\left. x^{2} = \left( {\sqrt{2} + 1} \right)x + \sqrt{2} + 2\Leftrightarrow x^{2} - \left( {\sqrt{2} + 1} \right)x - \sqrt{2} - 2 = 0 \right.$

Ta có: $a - b + c = 1 + \left( {\sqrt{2} + 1} \right) - \sqrt{2} - 2 = 0$ nên phương trình đã cho có nghiệm là: $\left\lbrack \begin{array}{ll} x & {= - 1} \\ x & {= 2 + \sqrt{2}} \end{array} \right.$

+) Với $x = - 1$ thay vào $(P)$ ta được: $\left. y = 1.\Rightarrow A\left( {- 1;1} \right) \right.$

+) Với $x = 2 + \sqrt{2}$ thay vào $(P)$ ta được: $\left. y = 6 + 4\sqrt{2}.\Rightarrow B\left( {2 + \sqrt{2};6 + 4\sqrt{2}} \right) \right.$

Vậy tọa độ giao điểm của Parabol $(P)$ và đường thẳng $(d)$ là: $A\left( {- 1;1} \right)$ và $B\left( {2 + \sqrt{2};6 + 4\sqrt{2}} \right)$.
b) Ta có phương trình:

$x^{2} - 4xy + 5y^{2} = 2\left( {x - y + 1} \right)$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} - 4xy + 5y^{2} - 2x + 2y - 2 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow x^{2} - 2\left( {2y + 1} \right)x + 5y^{2} + 2y - 2 = 0 \right.$ (*)

Ta có phương trình $\left( \text{*} \right)$ là phương trình bậc 2 theo ẩn $x$. Ta có:

$= {(2y + 1)}^{2} - \left( {5y^{2} + 2y - 2} \right) = - y^{2} + 2y + 3$

Để phương trình (*) có nghiệm thì $\left. ~ \geq 0\Leftrightarrow - y^{2} + 2y + 3 \geq 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow - {(y - 1)}^{2} + 4 \geq 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow{(y - 1)}^{2} \leq 4 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left| {y - 1} \right| \leq 2 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow - 2 \leq y - 1 \leq 2 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow - 1 \leq y \leq 3 \right.$

Mà $y \in {\mathbb{Z}}$ nên $y \in \left\{ {- 1;0;1;2;3} \right\}$

+) Với $y = - 1$ thay vào $\left( \text{*} \right)$ ta được: $\left. x^{2} + 2x + 1 = 0\Leftrightarrow x = - 1 \right.$. (chọn)

+) Với $y = 0$ thay vào $\left( \text{*} \right)$ ta được: $\left. x^{2} - 2x - 2 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 1 + \sqrt{3}} \\ {x = 1 - \sqrt{3}} \end{array} \right. \right.$ (loại, vì $x \notin {\mathbb{Z}}$)

+) Với $y = 1$ thay vào $\left( \text{*} \right)$ ta được: $\left. x^{2} - 6x + 5 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{lll} x & = & 1 \\ x & = & 5 \end{array} \right. \right.$ (chọn)

+) Với $y = 2$ thay vào $\left( \text{*} \right)$ ta được: $\left. x^{2} - 10x + 22 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{ll} x & {= 5 + \sqrt{3}} \\ x & {= 5 - \sqrt{3}} \end{array} \right. \right.$ (loại, vì $x \notin {\mathbb{Z}}$ )

+) Với $y = 3$ thay vào $\left( \text{*} \right)$ ta được: $\left. x^{2} - 14x + 49 = 0\Leftrightarrow x = 7 \right.$ (chọn)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $\left( {x;y} \right) = \left( {1;1} \right);\left( {5;1} \right);\left( {- 1; - 1} \right);\left( {7;3} \right)$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link