Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có đường kính $AB$ cố định, $I$ là điểm thuộc đoạn
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có đường kính $AB$ cố định, $I$ là điểm thuộc đoạn thẳng $AO$ sao cho $AI = 2IO$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với đường thẳng $AB$ cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm phân biệt $M$ và $N$. Điểm $C$ di động trên cung nhỏ $MB$ ($C$ không trùng với $M$ và $B),E$ là giao điểm của hai đường thẳng $AN$ và $BM$. Đường thẳng qua $E$ vuông góc với đường thẳng $AB$ cắt đường thẳng $AM$ tại $F$.
a) Chứng minh rằng bốn điểm $M,N,E,F$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Gọi $D$ là giao điểm của hai đường thẳng $AC$ và $MN$.
Chứng minh rằng $AD \cdot AC - AI \cdot IB = AI^{2}$
c) Gọi $K$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp $\Delta MCD$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = 2KM.KB - MK.MB.$
Quảng cáo
a) Chứng minh $\left. \angle AMN = \angle ANM = \angle FEN\Rightarrow M,N,F,E \right.$ cùng thuộc 1 dường tròn.
b) Ta cần chứng minh:
$\left. AD \cdot AC - AI \cdot IB = AI^{2}\Leftrightarrow AD \cdot AC = AI \cdot AB \right.$ (*)
Mà do $DCIB$ là tứ giác nội tiếp (vì $\angle DIB + \angle DCB = 180^{\circ}$) $\Rightarrow$ (*) đúng.
c) Trước hết ta chứng minh $\text{K},\text{M},\text{B}$ thẳng hàng.
Ta có:
$~P = 2KM \cdot KB - KM \cdot MB$
$~ = \dfrac{\left( {2KM} \right)\left( {KB - KM} \right)}{2}$
$~ \leq \dfrac{{(KB + KM)}^{2}}{8}$$~ = \dfrac{MB^{2}}{8}$
Mặt khác: $MB^{2} = IA \cdot IB = \dfrac{8}{3}R^{2}$
Suy ra: $P \leq \dfrac{R^{2}}{3}$
a) Dế thấy $\Delta AMN$ cân tại $\left. A\Rightarrow\angle AMN = \angle ANM \right.$ mà $EF//MN$ (cùng vuông góc với $OA$). $\left. \Rightarrow\angle AMN = \angle ANM = \angle FEN\Rightarrow M,N,F,E \right.$ cùng thuộc 1 dường tròn.
b) Ta cần chứng minh:
$\left. AD \cdot AC - AI \cdot IB = AI^{2}\Leftrightarrow AD \cdot AC = AI\left( {AI + IB} \right)\Leftrightarrow AD \cdot AC = AI \cdot AB \right.$ (*)
Mà do $DCIB$ là tứ giác nội tiếp (vì $\angle DIB + \angle DCB = 180^{\circ}$) $\Rightarrow$ (*) đúng.
c) Trước hết ta chứng minh $\text{K},\text{M},\text{B}$ thẳng hàng.
Thật vậy, ta có:
$\begin{array}{l} {\angle AMK = \angle AMD + \angle DMK} \\ {= \angle AMD + 90^{\circ} - \dfrac{\angle MKD}{2}} \\ {= \angle AMD + 90^{\circ} - \angle MCD} \end{array}$
Mà $\angle AMD = \angle MCD$ (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau) $\left. \Rightarrow\angle AMK = 90^{\circ} \right.$.
Mà $\left. \angle AMB = 90^{\circ}\Rightarrow K,M,B \right.$ thẳng hàng.
Ta có:
$~P = 2KM \cdot KB - KM \cdot MB$
$~ = KM\left( {2KB - MB} \right)$
$~ = KM\left( {KB - KM} \right)$
$~ = \dfrac{\left( {2KM} \right)\left( {KB - KM} \right)}{2}$
$~ \leq \dfrac{{(KB + KM)}^{2}}{8}$$~ = \dfrac{MB^{2}}{8}$
Mặt khác: $MB^{2} = IA \cdot IB = \dfrac{8}{3}R^{2}$
Suy ra: $P \leq \dfrac{R^{2}}{3}$
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ là: $\dfrac{R^{2}}{3}$ xảy ra khi $MK = \dfrac{1}{4}MB$.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
