a) Giải phương trình $3x + 2\sqrt{\left( {x^{2} + 5} \right)\left( {x - 1} \right)} = x^{2} + 8$.b) Giải hệ

Câu hỏi số 798142:

Vận dụng

a) Giải phương trình $3x + 2\sqrt{\left( {x^{2} + 5} \right)\left( {x - 1} \right)} = x^{2} + 8$.
b) Giải hệ phương trình $\left\{ {\begin{array}{l} {x\sqrt{12 - y} + \sqrt{y\left( {12 - x^{2}} \right)} = 12} \\ {x^{3} = 8x + 1 + 2\sqrt{y - 2}} \end{array}\ \left( {x,y \in {\mathbb{R}}} \right)} \right.$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798142

Phương pháp giải

a) Ta đặt: $\left\{ \begin{array}{l} {x - 1 = v} \\ {x^{2} + 5 = u} \end{array} \right.$
Phương trình đã cho trở thành: $3v + 2\sqrt{uv} = u$

b) Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x\sqrt{12 - y} + \sqrt{y\left( {12 - x^{2}} \right)} = 12\,\,(1)} \\ {x^{3} = 8x + 1 + 2\sqrt{y - 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)} \end{array} \right.$ $\left( {x,y \in {\mathbb{R}}} \right)$

(1)$\left. ~\Leftrightarrow\sqrt{y\left( {12 - x^{2}} \right)} = 12 - x\sqrt{12 - y} \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow x^{2} = 12 - y \right.$ (3)

Thay (3) vào (2).

Giải chi tiết

a) Điều kiện: $x \geq 1$.

Ta có: $3x + 2\sqrt{\left( {x^{2} + 5} \right)\left( {x - 1} \right)} = x^{2} + 8$

$\left. \Leftrightarrow 3\left( {x - 1} \right) + 2\sqrt{\left( {x^{2} + 5} \right)\left( {x - 1} \right)} = x^{2} + 5 \right.$

Ta đặt: $\left\{ \begin{array}{l} {x - 1 = v} \\ {x^{2} + 5 = u} \end{array} \right.$
Phương trình đã cho trở thành:

$3v + 2\sqrt{uv} = u$

$\left. \Leftrightarrow 2\sqrt{uv} = u - 3v \right.$

$\left. \Leftrightarrow 4uv = {(u - 3v)}^{2}\left( {u \geq v,\forall u,v} \right) \right.$

$\left. \Leftrightarrow 4uv = u^{2} - 6uv + 9v^{2} \right.$

$\left. \Leftrightarrow u^{2} - 10uv + 9v^{2} = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {u - v} \right)\left( {u - 9v} \right) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {u = v} \\ {u = 9v} \end{matrix} \right. \right.$

+) Với $u = v$ thì $\left. x^{2} + 5 = x - 1\Leftrightarrow x^{2} - x + 6 = 0 \right.$ (phương trình vô nghiệm).

+) Với $u = 9v$ thì $\left. x^{2} + 5 = 9\left( {x - 1} \right)\Leftrightarrow x^{2} - 9x + 14 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{lll} x & = & 2 \\ x & = & 7 \end{array} \right. \right.$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: $x = 2;x = 7$
b) Điều kiện xác định: $\left\{ \begin{array}{l} {- 2\sqrt{3} \leq x \leq 2\sqrt{3}} \\ {2 \leq y \leq 12} \end{array} \right.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x\sqrt{12 - y} + \sqrt{y\left( {12 - x^{2}} \right)} = 12\,\,(1)} \\ {x^{3} = 8x + 1 + 2\sqrt{y - 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)} \end{array} \right.$ $\left( {x,y \in {\mathbb{R}}} \right)$

(1)$\left. ~\Leftrightarrow\sqrt{y\left( {12 - x^{2}} \right)} = 12 - x\sqrt{12 - y} \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow y\left( {12 - x^{2}} \right) = {(12 - x\sqrt{12 - y})}^{2} \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow 12y - x^{2}y = 144 - 24y\sqrt{12 - y} + 12x^{2} - x^{2}y \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow 12y - 144 + 24y\sqrt{12 - y} - 12x^{2} = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow - 12\left( {12 - y} \right) + 24x\sqrt{12 - y} - 12x^{2} = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow x^{2} - 2x\sqrt{12 - y} + \left( {12 - y} \right) = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow{(x - \sqrt{12 - y})}^{2} = 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow x = \sqrt{12 - y} \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow x^{2} = 12 - y \right.$ (3)

Thay (3) vào (2) ta dược:

$x^{3} - 8x - 1 = 2\sqrt{10 - x^{2}}$

$\left. \Leftrightarrow x^{3} - 8x - 3 = 2\left( {\sqrt{10 - x^{2}} - 1} \right) \right.$

$\left. \Leftrightarrow x^{2}\left( {x - 3} \right) + 3x\left( {x - 3} \right) + \left( {x - 3} \right) = 2\dfrac{9 - x^{2}}{\sqrt{10 - x^{2}} + 1} \right.$

$\left. \Leftrightarrow~\left( {x - 3} \right)\left( {x^{2} + 3x + 1} \right) = \dfrac{2\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)}{\sqrt{10 - x^{2}} + 1} \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {x - 3} \right)\left( {x^{2} + 3x + 1 + \dfrac{2\left( {3 + x} \right)}{\sqrt{10 - x^{2}} + 1}} \right) = 0 \right.$

TH1: $\left. x - 3 = 0\Leftrightarrow x = 3 \right.$. (thỏa mãn điều kiện).
TH2: $x^{2} + 3x + 1 + \dfrac{2\left( {3 + x} \right)}{\sqrt{10 - x^{2}} + 1} = 0$.
Ta đi chứng minh $x > 0$. Phản chứng giả sử $x < 0$. Từ (1) ta có:

$\sqrt{y\left( {12 - x^{2}} \right)} = 12 - x\sqrt{12 - y} > 12$

Mà $\sqrt{y\left( {12 - x^{2}} \right)} < \sqrt{12\left( {12 - 0} \right)} = 12$

$\Rightarrow$ Vô lý. Như vậy $x > 0$. Với $x > 0$ thì phương trình (4) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {3;3} \right)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link